Question

Calcular a área da figura plana limitada pela curva y2 = 2px e a reta x = p, utilizando uma integral dupla, e esboce o gráfico desta região. (p > 0)

Answer 1

A representação gráfica da integração segue em anexo.


$\bullet\;\;$ Para calcular a área de uma região $S$ do plano utilizando integral dupla, integramos a função constante igual a $1$ sobre esta região:

$\text{\'{A}rea}=\displaystyle\iint_{S}{1\,dA}$


$\bullet\;\;$ Para encontrar os limites de integração, vamos achar os pontos de interseção entre a parábola e a reta:

$\left\{ \begin{array}{l} y^{2}=2px\\ x=p \end{array} \right.$

com $p>0.$


Substituindo $x$ da equação da reta na equação da parábola, temos

$y^{2}=2p\cdot p\\ \\ y^{2}=2p^{2}\\ \\ y=\pm\sqrt{2p^{2}}\\ \\ y=\pm p\sqrt{2}$


Os pontos de interseção entre a parábola e a reta são:

$P_{1}=(p,\,-p\sqrt{2})\;\;\text{ e }\;\;P_{2}=(p,\,p\sqrt{2}).$


$\bullet\;\;$ Ponto delicado: Escolha da ordem de integração.


Possibilidade 1:

$x$ varia entre extremos constantes:

$0\leq x\leq p.$


$y$ varia entre duas funções de $x,$ onde as funções de $x$ são os ramos inferior e superior da parábola:

$-\sqrt{2px}\leq y\leq \sqrt{2px}$


Sendo assim, a área é dada por

$\text{\'{A}rea}=\displaystyle\int\limits_{0}^{p}\int\limits_{-\sqrt{2px}}^{\sqrt{2px}}{1\,dy\,dx}\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$

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Possibilidade 2:

$y$ varia entre extremos constantes:

$-p\sqrt{2}\leq y\leq p\sqrt{2}$


$x$ varia entre duas funções de $y,$ onde as funções de $y$ são a parábola e a reta:

$\dfrac{y^{2}}{2p}\leq x\leq p$


Dessa outra forma, a área é dada por

$\text{\'{A}rea}=\displaystyle\int\limits_{-p\sqrt{2}}^{p\sqrt{2}}\int\limits_{\frac{y^{2}}{2p}}^{p}{1\,dx\,dy}\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$

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$\bullet\;\;$ Para esta questão, o nível de dificuldade não varia muito entre as duas escolhas. Vou escolher a ordem proposta em $\mathbf{(ii)}$

$\text{\'{A}rea}=\displaystyle\int\limits_{-p\sqrt{2}}^{p\sqrt{2}}\int\limits_{\frac{y^{2}}{2p}}^{p}{1\,dx\,dy}\\ \\ \\ =\displaystyle\int\limits_{-p\sqrt{2}}^{p\sqrt{2}}{\left.x\right|_{y^{2}/(2p)}^{p}\,dy}\\ \\ \\ =\displaystyle\int\limits_{-p\sqrt{2}}^{p\sqrt{2}}{\left(p-\dfrac{y^{2}}{2p}\right)\,dy}\\ \\ \\ =\left.\left(py-\dfrac{y^{3}}{6p} \right )\right|_{-p\sqrt{2}}^{p\sqrt{2}}\\ \\ \\ =\left(p\cdot (p\sqrt{2})-\dfrac{(p\sqrt{2})^{3}}{6p} \right )-\left(p\cdot (-p\sqrt{2})-\dfrac{(-p\sqrt{2})^{3}}{6p} \right )\\ \\ \\ =\left(\sqrt{2}\,p^{2}-\dfrac{2\sqrt{2}\,p^{3}}{6p} \right )-\left(-\sqrt{2}\,p^{2}-\dfrac{(-2\sqrt{2}\,p^{3})}{6p} \right )$


$=\left(\sqrt{2}\,p^{2}-\dfrac{\sqrt{2}\,p^{2}}{3} \right )-\left(-\sqrt{2}\,p^{2}+\dfrac{\sqrt{2}\,p^{2}}{3} \right )\\ \\ \\ =\left(\dfrac{2\sqrt{2}\,p^{2}}{3} \right )-\left(-\dfrac{2\sqrt{2}\,p^{2}}{3} \right )\\ \\ \\ =\dfrac{4\sqrt{2}\,p^{2}}{3}\text{ u.a.}$