Question

calculando o módulo da diferença entre as raizes da equação x² - 7x + 12 = 0, temos como resultado :

a) 1
b) 5
c) 7
d) 6
e) 3​

Answer 1

Resposta:

Alternativa A

Explicação passo-a-passo:

Sabemos que a soma das raízes de uma equação de segundo grau pode ser calculada a partir de uma equação padrão no formato $ax^{2} +bx+c=0$ como sendo $\frac{-b}{a}$ e o produto das raízes como sendo $\frac{c}{a}$. Assim para o problema apresentado sabemos que a soma das raízes vale $x_{1}+x_{2} =7$ e o produto $x_{1}*x_{2} =12$. Logo as raízes são: $x_{1} =4$ e $x_{2} =3$.

Logo o módulo da diferença é:

$|x_{1}-x_{2}| = |4-3|=1$

Answer 2

✅ Após ter resolvido todos os cálculos concluímos que o módulo da diferença das raízes da equação do segundo grau - equação quadrática - é:

           $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf |x' - x''| = 1\:\:\:}} \end{gathered} }$

Portanto, a opção correta é:

              $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Letra\:A\:\:\:}} \end{gathered} }$

Se a equação do segundo grau dada foi:

             $\large\displaystyle\begin{gathered}x^{2} - 7x + 12 = 0 \end{gathered}$

Cujos coeficientes são:

                    $\large\begin{cases}a = 1\\b = -7\\c = 12 \end{cases}$

Sabendo que suas raízes podem ser calculadas da seguinte forma:

             $\Large\begin{cases}x' = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \\x'' = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \end{cases}$

Deduzindo a fórmula do módulo da diferença das raízes, temos:

1ª     $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}|x' - x''|= \Bigg|\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} - \Bigg(\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \Bigg) \Bigg|\end{gathered} }$

                        $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \Bigg|\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{b - \sqrt{\Delta}}{2a} \Bigg| \end{gathered} }$

                        $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \Bigg|\frac{-b - \sqrt{\Delta} + b - \sqrt{\Delta}}{2a} \Bigg| \end{gathered} }$

                        $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \Bigg|\frac{-\!\diagup\!\!\!\!2\sqrt{\Delta}}{\!\diagup\!\!\!\!2a} \Bigg| \end{gathered} }$

                        $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \Bigg|-\frac{\sqrt{\Delta}}{a} \Bigg| \end{gathered} }$

Se o valor do delta é:

                $\large\displaystyle\begin{gathered}\Delta = b^{2} - 4\cdot a\cdot c \end{gathered}$

Portanto, a fórmula que podemos utilizar para calcular o módulo da diferença das raízes é:

2ª          $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}|x' - x''| = \Bigg|-\frac{\sqrt{b^{2} - 4\cdot a\cdot c}}{a} \Bigg| \end{gathered} }$

Substituindo os valores dos coeficientes na 2ª equação, temos:

            $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}|x' - x''| = \Bigg|-\frac{\sqrt{(-7)^{2} - 4\cdot1\cdot12}}{1} \Bigg| \end{gathered} }$

                            $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \Bigg|-\frac{\sqrt{49 - 48}}{1} \Bigg| \end{gathered} }$

                            $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \Bigg|- \frac{\sqrt{1}}{1} \Bigg| \end{gathered} }$

                            $\large\displaystyle\begin{gathered}= \Bigg|- \frac{1}{1} \Bigg| \end{gathered}$

                            $\large\displaystyle\begin{gathered}= |-1| \end{gathered}$

                            $\large\displaystyle\begin{gathered}= 1 \end{gathered}$

✅ Portanto, a diferença das raízes é:

               $\large\displaystyle\begin{gathered}|x' - x''| = 1 \end{gathered}$

Saiba mais:

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