Question

Calcula r a área da superfície plana 3x + 2y + z = 7 no primeiro octante

Answer 1

A área da superfície plana é

                            $\Large\text{ \begin{gathered}A = \iint_D \|\vec{r}_{u} \wedge \vec{r}_v\|\, dudv = \frac{49\sqrt{14}}{12}\end{gathered} }$

Para calcular a área de uma superfície temos que parametrizá-la, uma vez feita a parametrização, podemos obter sua área através de uma integral dupla sobre um domínio no plano da parametrização, essa integral é dada por

                                  $\Large\begin{gathered}A = \iint_D \|\vec{r}_{u} \wedge \vec{r}_v\|\, dudv\end{gathered}$

Onde D denota a região de integração e ^ o produto vetorial.

Primeiro temos que definir nossa parametrização e os intervalos de integração, sendo assim vamos parametrizar primeiro, uma das parametrizações possíveis é

$\Large\begin{gathered}\begin{cases}x = u\\y = v\\z = -3u - 2v + 7\\\end{cases}\end{gathered}$

Agora vamos definir o domínio de integração, para estar no primeiro octante, é obrigatório que x > 0, y > 0 e z > 0.

Dito isso é imediato que u e v está limitado inferiormente por 0, mas precisamos garantir que z esteja no primeiro octante, ou seja, temos que garantir que z > 0, logo

                                        $\Large\begin{gathered}z = -3u - 2v + 7 > 0\\ \\-3u - 2v +7 > 0\\ \\-3u - 2v > -7\\ \\3u + 2v < 7\\\end{gathered}$

Veja que temos uma inequação, já sabemos que u > 0 e v > 0, podemos isolar uma variável e ter a região de integração.

                                                  $\Large\begin{gathered}3u + 2v < 7\\ \\v < -\frac{3}{2}u + \frac{7}{2}\end{gathered}$

Portanto nossa região de integração é um triângulo, delimitado pelas retas u = 0, v = 0 e v = -3/2u + 7/2, como estamos fazendo em função de v, temos que garantir que o limite superior de u seja fixo, para descobrir ele basta fazer v = 0 na reta, o que nos dá 7/3.

$\Large\begin{gathered}\begin{cases}x = u & 0 < u < \frac{7}{3} \\y = v & 0 < v < -\frac{3}{2}u + \frac{7}{2}\\z = -3u - 2v + 7\\\end{cases}\end{gathered}$

Agora que temos a parametrização e os limites de integração podemos calcular o vetor normal, sabemos que o vetor normal é dado por

                                               $\Large\begin{gathered}\vec{n} = \vec{r}_u \wedge \vec{r}_v\end{gathered}$

Onde

        $\Large\begin{gathered}\vec{r}_u = \left(\frac{\partial r_x}{\partial u},\frac{\partial r_y}{\partial u}, \frac{\partial r_z}{\partial u}\right) \qquad \vec{r}_v = \left(\frac{\partial r_x}{\partial v},\frac{\partial r_y}{\partial v}, \frac{\partial r_z}{\partial v}\right)\end{gathered}$

Ou seja, derivamos cada coordenada em função das parametrizações.

Calculando as derivadas parciais vamos obter

                          $\Large\begin{gathered}\vec{r}_u = \left(1, 0, -3\right) \qquad \vec{r}_v = \left(0, 1, -2\right)\end{gathered}$

Então o vetor normal é

                             $\Large\begin{gathered}\vec{r}_u = \left(1, 0, -3\right) \wedge \vec{r}_v = \left(0, 1, -2\right) \\ \\\vec{r}_u \wedge \vec{r}_v = \left(3, 2, 1\right)\end{gathered}$

Mas como a integral pede a norma do vetor normal, temos que calcular ela também.

                                    $\Large\begin{gathered}\|\vec{r}_u \wedge \vec{r}_v\| = \sqrt{3^2+2^2+1^2}\\ \\\|\vec{r}_u \wedge \vec{r}_v\| = \sqrt{14}\\ \\\end{gathered}$

Como o vetor normal é uma constante e não uma função podemos usar a propriedade da integral dupla que

                                            $\Large\begin{gathered}A = \iint_D 1\,dxdy \end{gathered}$

A integral dupla é igual a área do domínio D, como nosso domínio de integração é um triângulo podemos apenas a fórmula de área do triângulo.

Nossa integral dupla fica então

                                $\Large\text{ \begin{gathered}A = \int_{0}^{\frac{7}{3}}\int_{0}^{-\frac{3}{2}u+\frac{7}{2}}\sqrt{14}\,dvdu\end{gathered} }$

Simplificando temos a integral dupla que facilita para a área do domínio de integração

                               $\Large\text{ \begin{gathered}A = \sqrt{14}\int_{0}^{\frac{7}{3}}\int_{0}^{-\frac{3}{2}u+\frac{7}{2}}1\,dvdu\end{gathered} }$

A área de um triângulo é dado por bh/2, a base já temos e vale 7/3, a altura é dado pela intersecção da reta no eixo y, ou seja, 7/2, logo a integral se resume a

                        $\Large\text{ \begin{gathered}\int_{0}^{\frac{7}{3}}\int_{0}^{-\frac{3}{2}u+\frac{7}{2}}1\,dvdu = \frac{\frac{7}{3}\cdot\frac{7}{2}}{2} = \frac{49}{12}\end{gathered} }$

Logo a área da superfície é

                                              $\Large\text{ \begin{gathered}A = \frac{49\sqrt{14}}{12}\end{gathered} }$

Espero ter ajudado,

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