Question

calcula..... a pergunta esta em anexo

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Cálculo da integral Indefinida

Dada a integral :

$\sf{ I~=~ } \displaystyle\int \sf{ \dfrac{3x^2 - 5x + 2}{x^3 - 2x^2 + 3x - 6}dx}$

Vamos fazer a Fatorizačão do polinómio abaixo :

$\sf{ I~=~ } \displaystyle\int \sf{ \dfrac{3x^2 - 5x + 2}{ x^2(x - 2) + 3(x - 2) } dx}$

$\sf{ I~=~ } \displaystyle\int \sf{ \dfrac{3x^2 - 5x + 2}{(x^2 + 3)(x - 2)}dx}$

Vamos usar o método das fracções parciais :

$\sf{ \dfrac{ 3x^2 - 5x + 2 }{(x^2+ 3)(x - 2)}~=~ \dfrac{ Ax + B }{x^2 + 3} + \dfrac{ C}{ x - 2} }$

$\sf{ \dfrac{ 3x^2 - 5x + 2 }{(x^2+ 3)(x - 2)}~=~ \dfrac{ (x - 2)(Ax + B) + (x^2 + 3)*C }{ (x^2 + 3)(x - 2)} }$

$\sf{ \dfrac{ 3x^2 - 5x + 2 }{(x^2+ 3)(x - 2)}~=~ \dfrac{ Ax^2 + Bx - 2Ax - 2B + Cx^2 + 3C }{ (x^2+3)(x - 2) } }$

Comparando a igualdade :

$\sf{ \dfrac{ \red{3}x^2\purple{- 5}x +\pink{ 2} }{(x^2+ 3)(x - 2)}~=~ \dfrac{ \red{(A + C)}x^2 + \purple{(B - 2A)}x +\pink{ (-2B + C)} }{ (x^2 + 3)(x - 2) } }$

Então :

$\begin{cases} \sf{ A + C ~=~3 } \\ \\ \sf{ B - 2A ~=~ -5 } \\ \\ \sf{ -2B + C ~=~2 } \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} \sf{ A ~=~ 3 - C } \\ \\ \sf{ B - 2*(3 - C)~=~ -5 } \\ \\ \sf{ -2B + C~=~ 2 } \end{cases}$

$\begin{cases} \sf{ A = 3 - C (I) } \\ \\ \sf{ B + C ~=~ 1 (II) } \\ \\ \sf{ -2B + C~=~2 (III) } \end{cases}$

Vamos só trabalhar com a equação (II) e (III), Multiplicar a equação (II) por 2 :

$\begin{cases} \sf{ \cancel{2B} + 2C = 2 } \\ \\ \sf{ \cancel{-2B} + C~=~ 2 } \end{cases}$

$\Longrightarrow\sf{ 3C ~=~ 4 }$

$\Longrightarrow \sf{ C~=~ \dfrac{4}{3} }$

Acha o B :

$\Longleftrightarrow \sf{ B~=~ 1 - C }$

$\iff \sf{ B~=~ 1 - \dfrac{4}{3} }$

$\iff \sf{ B~=~ -\dfrac{1}{3} }$

Achando o A :

$\iff \sf{ A~=~ 3 - C }$

$\iff \sf{ A~=~ 3 + \dfrac{1}{3}~=~\dfrac{10}{3} }$

Então :

$\begin{cases} \sf{ A~=~ \dfrac{10}{3} } \\ \\ \sf{ B~=~ -\dfrac{1}{3} } \\ \\ \sf{ C~=~ \dfrac{4}{3} } \end{cases}$

Reescrevendo a integral :

$\sf{ I~=~ }\displaystyle\int\sf{ \dfrac{ (10/3)x - 1/3 }{ x^2 + 3 }dx + \dfrac{4}{3}}\displaystyle\int \sf{ \dfrac{dx}{x - 3} }$

$\sf{ I~=~ \dfrac{4}{3}\ln| x - 3| +\dfrac{1}{3}} \displaystyle\int \sf{ \dfrac{10x - 1}{x^2 + 3}dx}$

$\sf{ I~=~ \dfrac{4}{3}\ln| x - 3| +\dfrac{10}{3}}\displaystyle\int \sf{ \dfrac{x - 1/10}{x^2 + 3}dx}$

$\sf{ I~=~ \dfrac{4}{3}\ln| x - 3| +\dfrac{10}{3}*\red{\dfrac{1}{2}}}\displaystyle\int \sf{ \dfrac{2x}{x^2+3}dx- \dfrac{2}{10}}\displaystyle\sf{ \dfrac{dx}{x^2 + (\sqrt{3})^2} }$

$\sf{ I~=~ \dfrac{4}{3}\ln| x - 3| + \dfrac{5}{3}*\ln|x^2 + 3| - \dfrac{1}{5} * \dfrac{1}{\sqrt{3}}\arctan\Big( \dfrac{x}{\sqrt{3}} \Big) }$

$\color{blue}{ \boxed{ \purple{ \boxed{ \sf{ I~=~ \dfrac{4}{3}\ln|x - 3| + \dfrac{5}{3}\ln| x^2 + 3| + \dfrac{1}{5\sqrt{3}}\arctan\Big( \dfrac{x}{\sqrt{3}} \Big) } } } } } \color{blue}{ \checkmark } \purple{ \checkmark } \sf{\longleftarrow Resposta }$

Espero ter ajudado bastante!)

Answer 2

Resposta:

$\frac{4}{7} \times ln( | x - 2| ) + \frac{17}{14} \times ln(x {}^{2} + 3 ) - \frac{ \sqrt{ 3} \times arctan( \frac{ \sqrt{3x} }{3}) }{21} + C, C∈ℝ$

Explicação passo-a-passo:

$\int \frac{3x {}^{2} - 5x + 2 }{x {}^{3} - 2x {}^{2} + 3x - 6 } dx$

Reescreva a fração Ultilizando a decomposição fracional parcial.

Sendo assim...

$\int \frac{4}{7(x - 2)} + \frac{17x - 1}{7(x {}^{2} + 3) } dx$

Use a propriedade do integral

$\int f(x) \frac{ + }{} g(x)dx =\int f(x) \: dx \frac{ + }{} \int g(x) \: dx$

.

Sendo assim...

$\int \frac{4}{7(x - 2)} dx + \int \frac{17x - 1}{7(x {}^{2} + 3)} dx$

Calcule as integrais definidas.

Sendo assim...

$\frac{4}{7} \times ln( | x - 2| ) + \frac{17}{14} \times ln(x {}^{2} + 3 ) - \frac{ \sqrt{ 3} \times arctan( \frac{ \sqrt{3x} }{3}) }{21}$

Faça a soma da constante de integração

C∈ℝ.

Sendo assim...

$\blue{\boxed{ \frac{4}{7} \times ln( | x - 2| ) + \frac{17}{14} \times ln(x {}^{2} + 3 ) - \frac{ \sqrt{ 3} \times arctan( \frac{ \sqrt{3x} }{3}) }{21} + C, C∈ℝ}}$