CADA LADO CONGRUENTE DE UM TRIÂNGULO ISÓSCELES MEDE 18 CM COM ALTURA DE 9 CM. CALCULE A MEDIDA DA ÁREA DESSE TRIÂNGULO, SABENDO QUE UM DOS ÂNGULOS INTERNOS MEDE 120°. A- 81 √3 cm² B- 27 √3 cm² C - 9 √3 cm² D- √3 cm²
Soluções para a tarefa
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Vamos lá.
Veja, ViniCesar, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se a área de um triângulo isósceles, cujos lados congruentes medem 18cm e cuja altura mede 9cm.
ii) Agora veja: quando você traça a altura a partir do vértice formados pelos dois lados congruentes, você vai dividir a base (cuja medida chamaremos de "x") em dois segmentos iguais. Ora, como a base inteira tem medida que chamamos de "x", então cada segmento igual será igual a "x/2". E a altura (9cm), quando foi traçada, ela formou dois triângulos retângulos com a base (x). Nesse triângulo retângulo temos que a hipotenusa vai ser a medida de um dos dois lados congruentes (18 cm) ficando os catetos sendo: a altura (9cm) e um dos segmentos iguais (x/2".
Assim, se você aplicar Pitágoras (a hipotenusa ao quadrado é igual à soma de cada cateto ao quadrado), teremos:
18² = 9² + (x/2)² ---- desenvolvendo, temos:
324 = 81 + x²/4 ---- passando "81" para o 1º membro, temos:
324 - 81 = x²/4
243 = x²/4 --- multiplicando-se em cruz, teremos:
4*243 = x²
972 = x² --- ou, invertendo-se, o que é a mesma coisa:
x² = 972
x = ± √(972) ---- note que 972 = 2².3⁵ = 2².3².3².3¹ = 2².3².3².3. Assim, substituindo, teremos:
x = ±√(2².3².3².3) --- note: quem estiver ao quadrado sai de dentro da raiz quadrada, com o que ficaremos assim:
x = ± 2.3.3√(3) ----- desenvolvendo, ficaremos com:
x = ± 18√(3) ---- mas como a medida da base não é negativa, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:
x = 18√(3) cm <--- Esta é a medida da base "x" do triângulo isósceles da sua questão.
ii) Agora vamos ao que está sendo pedido, que é a área desse triângulo isósceles. Note que a área de um triângulo é dado por: (base vezes altura)/2. Como já sabemos que a base mede 18√(3) cm e que a altura mede 9 cm, então teremos, chamando de "A" a área desse triângulo isósceles:
A = [18√(3) * 9]/2 ---- ou, o que é a mesma coisa (a ordem dos fatores não altera o produto):
A = [9*18√(3)]/2 ---- como 9*18 = 162, teremos:
A = [162√(3)]/2 ---- simplificando-se tudo por "2", ficaremos apenas com:
A = 81√(3) cm² <--- Esta é a resposta. Opção "a". Ou seja, esta é a área pedida do triângulo isósceles da sua questão.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Veja, ViniCesar, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se a área de um triângulo isósceles, cujos lados congruentes medem 18cm e cuja altura mede 9cm.
ii) Agora veja: quando você traça a altura a partir do vértice formados pelos dois lados congruentes, você vai dividir a base (cuja medida chamaremos de "x") em dois segmentos iguais. Ora, como a base inteira tem medida que chamamos de "x", então cada segmento igual será igual a "x/2". E a altura (9cm), quando foi traçada, ela formou dois triângulos retângulos com a base (x). Nesse triângulo retângulo temos que a hipotenusa vai ser a medida de um dos dois lados congruentes (18 cm) ficando os catetos sendo: a altura (9cm) e um dos segmentos iguais (x/2".
Assim, se você aplicar Pitágoras (a hipotenusa ao quadrado é igual à soma de cada cateto ao quadrado), teremos:
18² = 9² + (x/2)² ---- desenvolvendo, temos:
324 = 81 + x²/4 ---- passando "81" para o 1º membro, temos:
324 - 81 = x²/4
243 = x²/4 --- multiplicando-se em cruz, teremos:
4*243 = x²
972 = x² --- ou, invertendo-se, o que é a mesma coisa:
x² = 972
x = ± √(972) ---- note que 972 = 2².3⁵ = 2².3².3².3¹ = 2².3².3².3. Assim, substituindo, teremos:
x = ±√(2².3².3².3) --- note: quem estiver ao quadrado sai de dentro da raiz quadrada, com o que ficaremos assim:
x = ± 2.3.3√(3) ----- desenvolvendo, ficaremos com:
x = ± 18√(3) ---- mas como a medida da base não é negativa, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:
x = 18√(3) cm <--- Esta é a medida da base "x" do triângulo isósceles da sua questão.
ii) Agora vamos ao que está sendo pedido, que é a área desse triângulo isósceles. Note que a área de um triângulo é dado por: (base vezes altura)/2. Como já sabemos que a base mede 18√(3) cm e que a altura mede 9 cm, então teremos, chamando de "A" a área desse triângulo isósceles:
A = [18√(3) * 9]/2 ---- ou, o que é a mesma coisa (a ordem dos fatores não altera o produto):
A = [9*18√(3)]/2 ---- como 9*18 = 162, teremos:
A = [162√(3)]/2 ---- simplificando-se tudo por "2", ficaremos apenas com:
A = 81√(3) cm² <--- Esta é a resposta. Opção "a". Ou seja, esta é a área pedida do triângulo isósceles da sua questão.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
adjemir:
E aí, ViniCesar, era isso mesmo o que você esperava?
Agradecemos à moderadora Camponesa pela aprovação da nossa resposta. Um cordial abraço.
E aí, ViniCesar, era isso mesmo o que você estava esperando?
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