Question

cacule o limite lim/y→∞(2-3y^2/5y^2-4y

Answer 1

Temos a função racional dada por:

$f(y) = \dfrac{2-3y^2}{5y^2-4y}$

Queremos tomar o limite de f quando y tende a infinito, que denotamos por:

$\:\: \lim\:\:\:\:\:\: f(y)\\^{y\rightarrow+\infty}$

Como faremos?

Perceba, se tentarmos substituir, claramente daria uma divisão de infinito sobre infinito, que é indefinido, portanto, deveremos encontrar outro modo de calcular esse limite.

Quando temos limites de 0/0 ou infinito sobre infinito podemos utilizar uma ferramenta do cálculo, a derivada, para nos ajudar no limite.

Essa ferramenta em específico é o Teorema de L'Hôpital, ou L'Hospital, que nada mais é que uma comparação de qual função varia mais conforme y, no caso, cresce. Estudar o comportamento de crescimento das funções que se dividem nos ajuda, pois, sabendo o quanto elas crescem nos permitem a saber quando irão se estabilizar, no infinito.

E para isso, dada uma função racional f definida por:

$f(x):= \dfrac{g(x)}{h(x)}$

Tomemos

$\:\: \lim\:\:\:\:\:\: f(x)\\^{x\rightarrow a}$

Se

$\:\: \lim\:\:\:\:\:\: g(x)= 0 \:\: ou \:\:\pm \infty\\^{x\rightarrow a}$

$\:\: \lim\:\:\:\:\:\: h(x) = 0 \:\: ou \:\:\pm \infty\\^{x\rightarrow a}$

Então, vale L'Hopital e o limite será:

$\: \lim\:\:\: f(x) =\:\: \lim\:\:\: \dfrac{g'(x)}{h'(x)}\\^{x\rightarrow a} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:^{x\rightarrow a$

Vamos no nosso exercício:

$\:\: \lim\:\:\:\:\:\: \dfrac{2-3y^2}{5y^2-4y}\\^{y\rightarrow+\infty}$

Podemos usar L'Hopital, portanto o limite vale:

$\:\: \lim\:\:\: f(y) =\:\: \lim\:\:\: \dfrac{-6y}{10y-4}\\^{x\rightarrow +\infty} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:^{y\rightarrow +\infty$

Ainda temos infinito sobre infinito, portanto, apliquemos L'Hopital novamente:

$\:\: \lim\:\:\: f(y) =\:\: \lim\:\:\: \dfrac{-6}{10}\\^{x\rightarrow +\infty} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:^{y\rightarrow +\infty$

Assim, obtemos que:

$\:\: \lim\:\:\: \dfrac{2-3y^2}{5y^2-4y} = -0.6\\^{y\rightarrow+\infty}$