c) o 20º termo da PA (2, 4; 6; 8…).
Soluções para a tarefa
Resposta:
O 20º termo desta PA é 40.
Explicação passo-a-passo:
dados:
A20 = ?
PA (2, 4; 6; 8…)
A1 = 2
r = An - An-1 = A2 - A1 = 4 - 2 = 2
Aplicando a fórmula geral da PA, temos:
Devido estarmos procurando o A20, por consequência, haverá 20 termos envolvidos, ou seja, n = 20.
An = A1 + (n - 1) r
A20 = 2 + (20 - 1 ) 2
A20 = 2 + 38
A20 = 40
Portanto, o 20º termo desta PA é 40.
Bons estudos e até a próxima!
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Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da sequência (2, 4, 6, 8,...), tem-se que:
a)cada elemento nela presente, exceto o primeiro, será o resultado do imediatamente anterior adicionado a um mesmo valor, a saber, 2 unidades (por exemplo, 4=2+2 e 6=4+2). Se um comportamento deste tipo acontece (soma de um mesmo valor para formar os termos seguintes), tem-se uma sequência numérica especial, denominada progressão aritmética (P.A.).
b)progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;
c)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 2
d)vigésimo ou 20º termo (a₂₀): ?
e)número de termos (n): 20
- Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 20ª), equivalente ao número de termos.
f)Embora não se saiba o valor do vigésimo termo, pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, afastando-se do zero, à direita deste, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero, porque o quarto termo é positivo e a ele e aos próximos será sempre somado um valor positivo.
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 4 - 2 ⇒
r = 2 (Razão positiva, conforme prenunciado no item f acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o vigésimo termo:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₂₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₂₀ = 2 + (20 - 1) . (2) ⇒
a₂₀ = 2 + (19) . (2) ⇒
a₂₀ = 2 + 38 ⇒
a₂₀ = 40
RESPOSTA: O 20º termo da P.A. (2, 4, 6, ...) é 40.
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VERIFICAÇÃO DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo a₂₀ = 40 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o vigésimo termo realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₂₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
40 = a₁ + (20 - 1) . (2) ⇒
40 = a₁ + (19) . (2) ⇒
40 = a₁ + 38 ⇒
40 - 38 = a₁ ⇒
2 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = 2 (Provado que a₂₀ = 40.)
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