Question

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Matemática: calculando o valor de
$\sf\sqrt[\sf2]{\sqrt[\sf2]{\sqrt[\sf2]{\sqrt[\sf2]{5^{32}}}}}\,,$ obtemos como resultado qual número?​

Answer 1

Olá

✍️ Basta, simplificar o índice da raiz e o expoente dividindo por 2.

$\sf\sqrt[\sf2]{\sqrt[\sf2]{\sqrt[\sf2]{\sqrt[\sf2]{5^{32}}}}} \iff \sqrt{ \sqrt{ \sqrt{ {5}^{16} } } } \\ \\ \sf= \: \sqrt{ \sqrt{ {5}^{8} } } \iff \sqrt{ {5}^{4} } \\ \sf= {5}^{2} \iff5.5 \\ = \large\boxed{{\sf \large\boxed{{\sf 25{}}}{}}}$

✍️ Logo, o número que obtemos como resultado é o 25!!

Answer 2

Através dos cálculos realizados podemos concluir que o resultado dessa  operação com radicais corresponde a 25.

Para solucionar essa questão usaremos uma propiedade da radiciação, na qual determina que a raiz de uma raiz é calculada da seguinte maneira -- mantemos o radicando e multiplicamos os indices.

$\LARGE\tt \sqrt[n]{\sqrt[m]{x} } = \sqrt[n*m]{x}$

• Desenvolvendo

$\LARGE\tt \sqrt[2]{\sqrt[2]{\sqrt[2]{\sqrt[2]{5^{32}} } } } = \sqrt[2*2*2*2]{5^{32}} = \sqrt[16]{5^{32}}$

Vamos usar uma outra propriedade que transforma o radical em potência.

$\LARGE\tt \sqrt[n]{x^{m}}~ = ~x^{\dfrac{m}{n} }$

Retomando a operação.

$\LARGE\tt \sqrt[16]{5^{32}} ~= ~5^{\dfrac{32}{16} } ~= ~5^{2} ~=~ 25$

Mais sobre o assunto em:

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