Question

bom dia respondem por gentileza .

1) Para produzirmos x unidades de uma mercadoria, temos que o custo dessa produção em reais é dado pela expressão matemática C = x² – 80x + 3000. Com base nessa expressão, determine a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo e qual o valor mínimo do custo.
2) Um móvel realiza um MUV (Movimentos Uniformemente Variados ) obedecendo à função S = 2t2 - 18t + 36, sendo s medido em metros e t em segundos. Em que instante o móvel muda de sentido?
3) Um canhão atira um projétil (figura), descrevendo a função s = -9t2 + 120t, sendo s em metros e t em segundos. Calcule o ponto máximo de altura atingida pelo projétil.

QUESTÃO DE RECUPERAÇÃO
4) Um Físico lançou uma pedra obliquamente para cima, constatando que a equação da trajetória do objeto era y= - x2 + 6x, em que y, em metros, é a altura atingida pela pedra para um deslocamento x, em metros,na horizontal. Qual a altura máxima atingida pela pedra?

Answer 1

1) Analisando a expressão dada C = x² – 80x + 3000 percebemos que é uma equação do 2º grau, logo sua representação gráfica é uma parábola, que tem concavidade para cima (formato de U), pois a = 1 > 0 (considerando que a função tem a forma genérica C(x) = ax² + bx + c)

Então, o valor mínimo de quantidades produzidas estará representado no vértice dessa parábola, ou seja, seu ponto mais baixo. Sabendo que as coordenadas do vértice de uma parábola são dadas por:

Xv = -b/2a e Yv = -Δ/4a

Então a quantidade de unidades produzidas é:

Xv = -(-80)/2.1 = 80/2 = 40 unidades

Para esse valor, Yv = (40)² - 80.(40) + 3000 = 1600 - 3200 + 3000 = 1400 reais. Esse é o valor mínimo do custo.



2) S = 2t² - 18t + 36

Da mesma forma, a equação do movimento é do segundo grau, descrevendo uma parábola crescente (a > 0). A mudança de sentido do móvel se dará no momento em que ele atingir o ponto mínimo da parábola.

t = -b/2a = -(-18)/2.2 = 18/4 = 4,5 segundos



3) S = -9t² + 120t

Nesta equação podemos perceber que a < 0, então a função será representada por uma parábola com concavidade para baixo (com esse formato: ∩), apresentando um ponto de máximo, também representado por seu vértice:

t = -b/2a = -120/2.(-9) = 120/18 = 6,67 segundos

Nesse instante, a altura máxima será:

S = -9.(6,67)² + 120.6,67 = -400 + 800 = 400 metros.


4)  y= - x² + 6x

Com o mesmo pensamento que o exercício anterior vemos que:

Xv = -b/2a = -6/2.(-1) = 6/2 = 3 metros na horizontal (deslocamento)

Para esse deslocamento, a altura será:

Yv = -(3)² + 6.3 = -9 + 18 = 9 metros de altura.