Question

Bom dia. Estou perdido neste exercicioDetermine o valor de "k" para que seja de 60° o angulo entre os Planosa1: kx+2y+2z+1=0  ea2:x-y+z+3=0Se puderem responder passo a passo eu agradeço pois não consegui resolver.Grande Abraço

Answer 1

A fórmula para o ângulo entre dois planos é a seguinte, sendo que n representa o vetor normal ao plano. E o vetor normal do plano π1 é (k,2,2) e do plano π2 é (1,-1,1). Lembrando que cos(60º) = 1/2

$\cos \theta= \displaystyle \frac{|n_1 \cdot n_2|}{||n_1|| \cdot ||n_2||} \\ \\ \\ \frac{1}{2}= \frac{|(k,2,2) \cdot (1,-1,1)|}{ \sqrt{k^{2}+2^{2}+2^{2}} \cdot \sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}} } \\ \\ \\ \frac{1}{2}= \frac{k}{ \sqrt{k^{2}+8} \cdot \sqrt{3} } \\ \\ \\ (\frac{1}{2})^{2}= (\frac{k}{ \sqrt{k^{2}+8} \cdot \sqrt{3} })^{2} \\ \\ \\ \frac{1}{4}= \frac{k^{2}}{ 3(k^{2}+8)}} \\ \\ \\ \frac{1}{4}= \frac{k^{2}}{ 3k^{2}+24}} \\ \\ \\ 4k^{2}=3k^{2}+24 \\ \\ 4k^{2}-3k^{2}-24=0 \\ \\ k^{2}-24=0 \\ \\ k= \sqrt{24}$