Question

Boa tarde!

Alguém poderia me ajudar com a questão abaixo?

Todo sólido ocupa uma porção no espaço. A medida dessa porção é o volume desse sólido. Para calcular o volume de um corpo, em geral usamos como unidade-padrão o volume de um cubo de aresta de medida 1 u: esse volume é 1 u³. Assim, se a aresta mede 1 cm, o volume desse cubo é 1 cm³; se a aresta mede 1 m, o volume é 1 m³. No que diz respeito a comparação de sólidos geométricos, separamos o Prisma, a Pirâmide, o Cilindro e o Cone. Considere o que um prisma e a pirâmide possuem mesma área base e mesma altura e que um o cilindro e um Cone também possuem mesma área da base e mesma altura.

Qual a relação que podemos estabelecer entre o volume desses quatro sólidos?

Answer 1

O volume de um prisma é dado pelo produto da área da base pela altura. O volume de uma pirâmide é dado pelo produto de um terço da área da base pela altura. Logo entre o prisma e a pirâmide de bases equivalentes e mesma altura temos que:

$V_{prisma} = Bh \: \: e \: \: V_{piramide} = \frac{1}{3} Bh \\ \\ V_{piramide} = \frac{1}{3} V_{prisma}$

A relação se verifica também entre o cilindro e o cone, uma vez que o volume do cilindro, assim como o prisma, é também dado pelo produto entre a área de sua base e a medida de sua altura, e o cone tem volume igual a um terço do produto da área da base pela altura. Como as bases são equivalentes e as alturas tem a mesma medida:

$V_{cone} = \frac{1}{3} V_{cilindro}$

Daí encontramos as outras relações:

$V_{prisma} = V_{cilindro} \\ V_{piramide} = V_{cone}$

E relacionando os quatro sólidos temos:

$\boxed{V_{prisma} = V_{cilindro} = 3 V_{piramide} = 3 V_{cone}}$

Se os mesmos possuírem bases equivalentes e alturas com medidas iguais.