Question

Boa tarde,
Alguem pode me ajudar cm essa integral, não consigo sair do lugar

Answer 1

Olá!
  
      Bem, vou levar em conta que estamos considerando a função do integrando dada num caminho fechado, simples, analítica nesse caminho e em seu interior. Pelo teorema de Resíduos, temos que

$\displaystyle \int\limits_C {f(z)} \, dz = 2\pi i\cdot \Sigma^n_{j=0} Res_{z=z_j}(f(z))$

As singularidades são $z_0 = 2,\; \; z_1 = -2$

Perceba que podemos escrever a função $f(z)$  ,do integrando, do seguinte modo:

$f(z) = \dfrac{3z+1}{(z-2)^2(z+2)^2} = \dfrac{\phi(z)}{(z-2)^2}$ ,

onde $\phi(z) = \dfrac{3z+1}{(z+2)^2}$

Note que $\phi(z)$  é analítica em $z=2$  e que $z=2$  é polo de ordem 2 da $f(z)$ . Logo, 

$Res_{z = 2}(f(z)) = \dfrac{\phi^{m-1}(2)}{(m-1)!} =\phi{'}(2) = \dfrac{5}{(z+2)^2}\bigg{|}_{z=2} = \dfrac{5}{16}$



Analogamente reescrevemos $f(z)$ do seguinte modo: 

$f(z) = \dfrac{3z+1}{(z-2)^2(z+2)^2} = \dfrac{\phi(z)}{(z+2)^2}$ ,

onde $\phi(z) = \dfrac{3z+1}{(z-2)^2}$.  Também temos que $\phi(z)$  é analítica em $z=-2$  e que $z=-2$  é polo de ordem 2 da $f(z)$ . Logo,

$Res_{z = -2}(f(z)) = \dfrac{\phi^{m-1}(2)}{(m-1)!} =\phi{'}(-2) = \dfrac{-7}{(z-2)^2}\bigg{|}_{z=-2} = \dfrac{-7}{16}$

Portanto, 

$\displaystyle \int\limits_C {\dfrac{3z+1}{(z^2-4)^2}} \, dz = 2\pi i \left(\dfrac{5}{16}-\dfrac{7}{16}\right) = -\dfrac{\pi }{4}i$




Espero ter ajudado.

Bons estudos!