Question

Boa tarde. Alguém consegue resolver essa questão de encontrar o domínio da função? A resposta é a letra B, mas gostaria do processo até chegar na conclusão.

Answer 1

Resposta: Letra B)

Explicação passo a passo:

Vide resolução na figura anexa!

Answer 2

Explicação passo a passo:

Para resolver essa questão, precisamos analisar separadamente o numerador e o denominador. Veja os passos que vou usar para o numerador:

• Desenvolvendo a equação do numerador (o de cima) encontraremos uma função de segundo grau;
• Veja o que o numerador está dentro de uma raiz, então ele não pode ter valor menor que zero, pois não existe raiz de números negativos dentro dos reais.
• O numerador pode ser zero, então x no numerador precisa ser maior ou igual à zero.

Temos a função

$f(x)=\frac{\sqrt{(3x+1)*(2x-3)}}{\sqrt{7-5x} }$

Vamos desenvolver a equação do numerador

$f(x)=\frac{\sqrt{(3x+1)*(2x-3)}}{\sqrt{7-5x} }\\\\f(x)=\frac{\sqrt{6x^2-9x+2x-3} }{\sqrt{7-5x} } \\\\f(x)=\frac{\sqrt{6x^2-7x-3} }{\sqrt{7-5x} }$

A equação de segundo grau do numerador é $6x^2-7x-3$, precisamos descobrir para quais valores essa equação é menor do que 0. Vamos agora descobrir suas raízes:

$6x^2-7x-3=0\\\\\Delta=b^2-4ac\\\\\Delta=(-7)^2-4*6*(-3) = 49+72=121\\\\\frac{-b\pm\sqrt{\Delta} }{2a} \\\\\frac{-(-7)\pm\sqrt{121} }{2*6} =\frac{7\pm11}{12} \\\\x_1=\frac{7+11}{12} =\frac{18}{12}=\frac{3}{2} \\\\x_2=\frac{7-11}{12} =\frac{-1}{3}$

A parábola tem concavidade voltara para cima, pois o coeficiente a da equação é positivo. Logo, os valores que estão entre as raízes são menores que zero, conforme na imagem que eu anexei. Então para o numerador:

$x \geq \frac{3}{2}$ e $x \leq \frac{-1}{3}$

Agora olhando para o denominador (o de baixo);

• O denominador não pode ser menor que zero (negativo) pois está dentro de uma raiz e não temos raízes de números negativos dentro dos reais;
• O denominador também não pode ser 0, pois a função é uma fração, e divisões por 0 não estão definidas.

Então o denominador precisa ser maior do que 0:

$7-5x > 0\\\\-5x > -7\\\\x > \frac{-7}{-5}\\\\x > \frac{7}{5}$

Agora precisamos juntar as análises do numerador e do denominador em uma só.

Para o numerador:

$x \geq \frac{3}{2}$ e $x \leq \frac{-1}{3}$

Para o denominador:

$x > \frac{7}{5}$

Ao fazer a análise da reta real, temos:

$s=[x\in\Re / x\leq -\frac{1}{3}, \frac{7}{5} < x\leq \frac{3}{2}]$

Essa questão é um pouco complexa, caso tenha dúvidas pode estou à disposição.