Question

Boa noite, preciso dessa resolução passo a passo.

Answer 1

$\int\limits { \frac{3x}{x^2+x-2} } \, dx$

fatorando o denominador
as raízes são -2 e 1
então o denominador pode ser reescrito como
x²+x-2 = (x-(-2))*(x-1) = (x+2)(x-1)

temos
$\int\limits { \frac{3x}{(x+2)(x-1)} } \, dx$

decompondo em frações parciais 
$\frac{3x}{(x+2)(x-1)}= \frac{A}{(x+2)}+ \frac{B}{(x-1)} \\\\ \frac{3x}{(x+2)(x-1)}= \frac{A(x-1)+B(x+2)}{(x+2)(x-1)} \\\\ \boxed{\boxed{3x=A(x-1)+B(x+2)}}$

encontrando os valores de A e B
fazendo x=1 temos:
$3*1=A(1-1)+B(1+2)\\\\3=0+3B\\\\\boxed{1=B}$

fazendo x=-2
$3(-2)=A(-2-1)+1(-2+2)\\\\-6=-3A+0\\\\ \boxed{2=A}$

então podemos reescrever como:
$\frac{3x}{(x+2)(x-1)}= \frac{2}{(x+2)}+ \frac{1}{(x-1)}$

substituindo na integral
$\int \left( \frac{2}{(x+2)}+ \frac{1}{(x-1)} \right)\;dx\\\\ \int \frac{2}{x+2}dx +\int \frac{1}{x-1} dx \\\\ 2\int \frac{dx}{x+2} + \int\frac{dx}{x-1}\\\\2ln(x+1)+ln(x-1)+C$