Question

boa noite poderia me ajudar por favor nessa pergunta

Answer 1

1. Asociatividad
sea además: $(x'',y'')\in G\times H$, veamos:
$\left\{(x,y)\bot [(x',y')\bot (x'',y'')]\right\}=\left\{(x,y)\bot [(x'*x'',y'\Delta y'')]\right\}\\ \\ \left\{(x,y)\bot [(x',y')\bot (x'',y'')]\right\}=(x*(x'*x''),y\Delta(y'\Delta y''))\\ \\ \text{Como }(G,*) \text{ e } (H,\Delta) \text{ son grupos, entonces}\\ \left\{(x,y)\bot [(x',y')\bot (x'',y'')]\right\}=((x*x')*x''),(y\Delta y')\Delta y'')$

$\left\{(x,y)\bot [(x',y')\bot (x'',y'')]\right\}=[(x*x',y\Delta y')\bot(x'',y'')]\\ \\ \\ \boxed{\left\{(x,y)\bot [(x',y')\bot (x'',y'')]\right\}=\{ [(x,y)\bot(x',y')]\bot(x'',y'')\}}$

2. Existencia del elemento neutro
Sea $e_1$ el neutro de $x$ en G, $e_2$ el neutro de $y$ en H, Entonces:

$\boxed{(x,y)\bot (e_1,e_2)=(x*e_1,y\Delta e_2)=(x,y)}$

3. Existencia de inversos
Sea $i_1$ el inverso (a izquierda) de $x$ en G e $i_2$ el inverso (a izquierda) de $y$ en H, entonces:

$(i_1,i_2)\bot (x,y)=(i_1*x,i_2\Delta y)=(e_1,e_2)$

de forma análoga se prueba el inverso a derecha

Con lo que queda probado que $(G\times H,\bot)$ es un grupo