Question

Boa noite pessoal, preciso de ajuda pra resolver esta questão 15 do anexo abaixo. É sobre matrizes e determinantes,preciso encontrar a area deste triangulo a parti dos dado da questão.  Ja tentei mas não consegui resolver, alguém poderia me ajudar?  Por favor alguém me ajude. É pra entregar amanha de manha, valendo nota. 

A questão é:

Um triangulo esta representado pelos pontos A (1;2). B (4;2), e C (1;5). Usando  o determinante da matriz dos pontos dado, calcule em unidades da área, a área deste triangulo.

Answer 1

Utilize a fórmula da Geometria Analítica:

$A= \frac{1}{2} \left|\begin{array}{ccc}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x_C&y_C&1\end{array}\right| \\ \\ A=\frac{1}{2} \left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\4&2&1\\1&5&1\end{array}\right| \\ \\ A=\frac{1}{2}*|2+2+20-2-8-5|=\frac{1}{2}*9=\frac{9}{2} \ u^2$

Answer 2

Vamos considerar um triângulo $ABC$, tais que, $A(x_a,y_a)$, $B(x_b,y_b)$ e $C(x_c,y_c)$.

A área desse triângulo é dada por $A=\dfrac{1}{2}\cdot|D|$, onde:

$D=\left[\begin{array}{ccc}x_a&y_a&1\\x_b&y_b&1\\x_c&y_c&1\end{array}\right]$

ou seja, a área desse triângulo será metade do módulo do determinante das coordenadas dos pontos A, B e C.

Queremos determinar a área do triângulo $ABC$, com $A(1,2)$, $B(4,2)$ e $C(1,5)$.

Temos que, $A=\dfrac{1}{2}\cdot|D|$, onde:

$D=\left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\4&2&1\\1&5&1\end{array}\right]$

Pela Regra de Sarrus:

$\left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\4&2&1\\1&5&1\end{array}\right|\begin{array}{cc}1&2\\4&2\\1&5\end{array}$

Diagonal principal:

$1\cdot2\cdot1=2$

$2\cdot1\cdot1=2$

$1\cdot4\cdot5=20$

Soma:

$2+2+20=24$

Diagonal secundária:

$1\cdot2\cdot1=2$

$1\cdot1\cdot5=5$

$2\cdot4\cdot1=8$

Soma:

$2+5+8=15$

Assim, $D=24-15=9$.

Logo, a área procurada é $A=\dfrac{1}{2}\cdot9~~\Rightarrow~~A=4,5~\text{ua}$.