Question

Boa noite. Calcule os valores de a, b, c para que o polinômio P(x)=a(x+c)^3+b(x+d) seja idêntico a Q(x)=x^3+6x^2+15x+14. Alguem sabe? A resposta é 1,3,2 para a, b, c respectivamente.

Answer 1

Primeiro temos que organizar o polinômio p(x).

$P(x)=a (x^3 + 3x^2c + 3xc^2 + c^3) + bx + bd \\ P(x)=ax^3 + 3acx^2 + 3ac^2x + ac^3 + bx + bd\\ P(x)=ax^3 + 3acx^2 + (3ac^2 + b) x + ac^3 + bd$

O polinômio está organizado, agora basta comprar o P(x) com o Q(x) e terminar a questão.

$P(x)= ax^3+3acx^2+(3ac^2 + b)x+ac^3+bd \\ Q(x)= x^3+6x^2+15x+14$

Bom, agora é só ver os termos semelhantes que há em ambos e terminar a questão.

Qual o termo que antecede o x³ nos dois polinômios?
a=1

Qual o termo que antecede o x² nos dois polinômios?
3ac=6

Qual o termo que antecede o x nos dois polinômios?
3ac²+b=15

E o termo que não tem incógnita?

ac³+bd=14

Pronto, agora é só resolver.

Já sabemos que o a=1
Agora é só resolver o restante.

3ac=6
3(1)c=6
3c=6
c=6/3
c=2

3ac²+b=15
3(1)(2)²+b=15
12+b=15
b=15-12
b=3

O exercício só pede o a,b e c, eles estão aí, mas vamos achar o d para ficar mais completo.

ac³+bd=14
1*2³+3*d=14
8+3d=14
3d=14-8
3d=6
d=6/3
d=2

a=1, b=3, c=2, d=2