Question

Bira adquiriu uma cabra que pasta em um campo retangular. Para delimitar o gramado, ele pretende traçar uma elipse inscrita num terreno retangular de 10 m por 8 m. Para isso, ele deve utilizar um fio esticado preso por duas estacas M e N, conforme mostra a figura. Qual deve ser a distância entre as estacas M e N? a) 5 b) 4 c) 8 d) 6 e) 9

Answer 1

Utilizando as formulações gerais de elipses, temos que as estacas estão a 6 metros de distancia uma da outra. Letra d).

Explicação passo-a-passo:

Vou presupor que as estcas estão sobre os focos da elipse, sendo assim a equação geral de uma elipse é sempre dada por:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Onde "a" é o semi-eixo maior e "b" o semi-eixo menor (Quando falamos em semi, quer dizer metade dos eixos, neste caso os eixos são 10 m e 8 m então os semi eixos são 5 m e 4 m).

Assim a equação da nossa elipse é:

$\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1$

Mas existe ainda outra distanci que é a distancia focal "c", que é dada pela formula:

$a^2=b^2+c^2$

Então neste caso:

$5^2=4^2+c^2$

$25=16+c^2$

$9=c^2$

$c=3$

Assim sabemos que a distancia focal é de 3m, ou seja, a distancia do foco até o centro da elipse é 3 metros, então M está 3 metros distante do centro e N também esta distante 3 metros do centro, pois as duas estacas estão em cima dos focos, assim a distancia entre eles é a soma das distancias.

Então temos que as estacas estão a 6 metros de distancia uma da outra. Letra d).

Answer 2

A distância entre as estacas é a distância entre os focos da elipse, portanto, mede 6 metros, alternativa d.

Qual a distância entre as estacas?

A distância entre as estacas é igual a distância entre os focos da elipse obtida. Temos que o eixo maior mede 10 metros e o eixo menor mede 8 metros. Observe a imagem em anexo, temos que, a metade das distâncias entres os dois eixos maiores, os dois eixos menores e os dois focos constituem as medidas de um triângulo retângulo. Dessa forma, pelo Teorema de Pitágoras, podemos escrever:

$(10/2)^2 = (8/2)^2 + c^2$

$c^2 = 25 - 16 = 9$

$c = 3$

A metade da distância entre as duas estacas é 3 metros, ou seja, multiplicando esse valor por 2 obtemos que a distância total mede 3*2 = 6 metros.

Para mais informações sobre elipse, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/38395104

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