Question

Bactérias são seres procariontes que não possuem organelas celulares. Além disso, são classificadas pelas
diferentes formas e se reproduzem por divisão binária. Eduarda analisava uma cultura de bactérias do tipo
Vibrião, quando observou que a taxa de crescimento delas obedecia a função x(t) = Cekt. A incógnita x
representa o número de bactérias, t é o tempo, C e k são constantes positivas e e é a base do logaritmo
neperiano. Eduarda precisa saber quantas bactérias existem na cultura que está sendo analisada após 6
horas. Sabendo que inicialmente, x(0), o número de bactérias duplicou em 4 horas, calcule quantas vezes
será aumentado o número de bactérias no tempo que Eduarda necessita

Answer 1

Através dos cálculos realizados, concluímos que o número de bactérias no tempo que Eduarda necessita será aumentado 2 vezes raiz quadrada de 2 vezes o número inicial.

Logaritmos

Desejamos descobrir quantas vezes será aumentado o número de bactérias no tempo que Eduarda necessita ( 6 horas ). Para isso, foi nos dado que a taxa de crescimento delas obedecem a seguinte função:$\large\displaystyle\begin{gathered}x(t)=Ce^{kt}\end{gathered}$

Onde, a incógnita x representa o número de bactérias, t é o tempo, C e k são constantes positivas e e é a base do logaritmo neperiano.

Foi nos dito também que inicialmente, x(0), o número de bactérias duplicou em 4 horas, portanto: $\large\displaystyle\begin{gathered}x(4)=2x(0)\end{gathered}$ . Com isso, surge que:

$\large\displaystyle\begin{gathered}Ce^{k\cdot 4}=2Ce^{k\cdot 0}\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}Ce^{4k}=2C\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}Ce^{4k}-2C=0\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}C\left(e^{4k}-2\right)=0\end{gathered}$

E como C e k são constantes positivas, logo:

$\large\displaystyle\begin{gathered}e^{4k}-2=0\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}e^{4k}=2\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\ell n \left(e^{4k}\right)=\ell n \left( 2\right)\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}4k = \ell n \left( 2\right)\end{gathered}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{k = \frac{\ell n \left( 2\right)}{4}}\end{gathered} }$

Agora, utilizando a função da taxa de crescimento delas para t = 6 horas, temos por fim que:

$\large\displaystyle\begin{gathered}x(t)=Ce^{kt}\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}x(6)=Ce^{6k}\end{gathered}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}x(6)=Ce^{6\cdot \frac{1}{4} \ln2}\end{gathered} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}x(6)=Ce^{ \frac{3}{2} \ln2}\end{gathered} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}x(6)=2^{ \frac{3}{2} }C\end{gathered} }$

Mas temos que x(0) = Ce^0 , que é igual a C. Portanto, surge que:

$\large\displaystyle\begin{gathered}x(6)=2\sqrt{2} \ C\end{gathered}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{x(6)=2\sqrt{2} \ x(0)}\ \checkmark\end{gathered} }$

Para mais exercícios sobre logaritmos, acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/47112334

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