Question

b) lim. (sen kx/x)
x-0
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Answer 1

Temos que:

$\lim_{x\rightarrow 0} \left(\frac{ \sin(kx)}{x} \right)$

Certamente se substituirmos o valor a qual o "x" tende no local do mesmo, iremos nos deparar com uma indeterminação, então temos que fazer algumas manipulações.

• Vamos multiplicar em cima e em baixo por "k", então:

$\lim_{x\rightarrow 0} \left(\frac{ \sin(kx)}{x} \right). \binom{k}{k} \\ \\ \lim_{x\rightarrow 0} \left(\frac{ k\sin(kx)}{kx} \right) \\ \\ \lim_{x\rightarrow 0} \left( \frac{k}{1}. \frac{ \sin(kx)}{kx} \right)$

Lembrando que:

$\lim_{x\rightarrow a} f(x).g(x) = \lim_{x\rightarrow a}f(x).\lim_{x\rightarrow a}g(x)$

Aplicando:

$\lim_{x\rightarrow 0} \left( \frac{k}{1} .\frac{ \sin(kx)}{kx} \right) = \lim_{x\rightarrow 0} k \: \: . \: \: \lim_{x\rightarrow 0} \frac{ \sin(kx)}{kx}$

Observe que surgiu o limite trigonométrico imediato, que é dado por:

$\lim_{u\rightarrow 0} \frac{sen(u)}{u} = 1$

Substituindo essa informação:

$\lim_{x\rightarrow 0} k \: \: . \: \: \lim_{x\rightarrow 0} \frac{ \sin(kx)}{kx} = \lim_{x\rightarrow 0}k \: \: . \: \: 1$

Como sabemos, o limite de uma constante é a própria constante:

$\lim_{x\rightarrow a}L = L$

Então:

$\lim_{x\rightarrow 0}k \: \: . \: \: 1 = k.1 = \boxed{ k}$

Pode-se concluir que o resultado é:

$\boxed{\lim_{x\rightarrow 0} \left(\frac{ \sin(kx)}{x} \right) = k}$

Espero ter ajudado