Question

B.183 IEZZI(FME)
Resolver a equação\log_{2}(9^{x-1}+7)-\log_{2}(3^{x-1}+1=2


GABARITO:{1,2}

Answer 1

$\log_{2}\ (9^{(x \ - \ 1)}\ + \ 7) \ - \ \log_{2}\ (3^{(x \ -\ 1)} \ + \ 1) \ = 2 \ \rightarrow \\ \\ 'Convers\~ao' \ de \ logaritmandos \ por \ divis\~ao \longrightarrow \\ \\ \log_2 \ \frac{(9^{(x \ - \ 1)}\ + \ 7)}{(3^{(x \ -\ 1)} \ + \ 1)} \ = \ 2 \ \rightarrow \\ \\ Propriedade \ b\'asica :\rightarrow \\ \\ \frac{(9^{(x \ - \ 1)}\ + \ 7)}{(3^{(x \ -\ 1)} \ + \ 1)} \ = \ 2^2 \ \rightarrow \\ \\ \frac{(9^{(x \ - \ 1)}\ + \ 7)}{(3^{(x \ -\ 1)} \ + \ 1)} \ = \ 4 \ \rightarrow$

$(9^{(x \ - \ 1)}\ + \ 7) \ = \ 4 \ \cdot \ (3^{(x \ -\ 1)} \ + \ 1) \ \rightarrow \\ \\ Propriedade \ exponencial \ \rightarrow \\ \\ \frac{9^x}{9} \ + \ 7 \ = \ 4 \ \cdot \ (\frac{3^x}{3} \ + \ 1) \ \rightarrow \\ \\ \frac{(3^x)^2}{9} \ + \ 7 \ = \ 4 \ \cdot \ (\frac{3^x}{3} \ + \ 1) \ \rightarrow \\ \\ Multiplicando \ tudo \ por \ 9 \ \rightarrow$

$(3^x)^2 \ + \ 63 \ = \ 4 \ \cdot \ (3 \ \cdot \ 3^x \ + \ 9) \ \rightarrow \\ \\ Mudan\c{c}a \ de \ vari\'avel \ \longrightarrow \ 3^x \ = \ y \ \rightarrow \\ \\ y^2 \ + \ 63 \ = \ 12 \cdot \ y \ + \ 36 \ \rightarrow \\ \\ y^2 \ - \ 12 \cdot \ y \ + \ 27 \ = \ 0 \rightarrow \\ \\ \Delta \ = \ 36 \ \dots$

$Resolvendo, \ achamos \ \rightarrow \\ \\ \ \longrightarrow \ y \ = \ 9 : \\ \\ 9 \ = \ 3^x \ \rightarrow \\ \\ 3^2 \ = \ 3^x \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{x \ = \ 2}} \\ \\ \longrightarrow \ \ y \ = \ 3 : \\ \\ 3 \ = \ 3^x \ \rightarrow \\ \\ 3^1 \ = \ 3^x \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{x \ = \ 1}}$

$S \ = \ [x \ \in \ \mathbb{R} \ | \ x \ = \ 1;2]$