Question

Atividade de Calculo diferencial e integral
Aplicando a regra de L'hospital, resolva:

Answer 1

Olá, Fabiana.

A letra "a" já foi solucionada em http://brainly.com.br/tarefa/272724.

Vamos à solução da letra "b".

$\lim\limits_{x\to0}\left(\frac1 x - \frac1{e^x-1}\right)=\\\\ =\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x(e^x-1)}=\\\\ =\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{xe^x-x}$

Como $\frac{e^0-1-0}{0\cdot e^0-0}=\frac{1-1-0}{0\cdot1-0}=\frac00$, podemos aplicar a regra de L'Hôpital. Assim:

$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{xe^x-x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{(e^x-1-x)'}{(xe^x-x)'}=\\\\ =\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{e^x+xe^x-1}$

Este limite resulta em $\frac00$ novamente. Portanto, devemos aplicar a regra de L'Hôpital novamente:

$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{e^x+xe^x-1}=\lim\limits_{x\to0}\frac{(e^x-1)'}{(e^x+xe^x-1)'}=\\\\ =\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x}{e^x+e^x+xe^x}=\\\\ =\frac{1}{1+1+0}=\\\\ =\boxed{\frac12}$