Question

Atividade Ava 08- Determine o valor de cada letra no quadrado magico abaixo, sabendo que elas representam números na forma de potência e que o produto das linhas, colunas ou diagonais deve ser o mesmo.

então, qual o valor das letras respectivamente A,B e C

faz o cálculo p mim pfvvvr​

Answer 1

Vamos primeiro relembrar como se multiplicar e dividir potências de mesma base.

Quando nós temos um número da forma $a^n$ dizemos que nós temos uma potência.

O número a é chamado de base. O número n é chamado de expoente.

Por exemplo, na potência $5^3$ temos que o 5 é a nossa base e que o 3 é o nosso expoente.

O que acontece se a gente multiplicar duas potencias de mesma base?

Iremos  fazer: $a^m \times a^n$. Veja que temos uma única base a e dois expoentes distintos, m e n.

A regra para fazer essa multiplicação é simples:

Nós mantemos a base e somamos os expoentes.

Ou seja:

$\displaystyle{\boxed{a^m\times a^n = a^{m+n}}}$

Por exemplo, $4^9\times4^2=4^{9+2}=4^{11}$.

Perceba que a nossa base é 4 e que ela não muda. Temos os expoentes 2 e 9 que são somados e temos o novo expoente que é 11.

E se for uma divisão, ou seja, ${a^m}\div{a^n}$ ?

A regra para a divisão é similar:

Nós mantemos a base e subtraímos os expoentes.

Ou seja:

$\boxed{{a^m}\div{a^n}=a^{m-n}}$

Por exemplo, $6^9\div6^{12}=6^{9-12}=6^{-3}$.

Aqui temos que a nossa base é 6 e que ela não muda. E ao subtrair um expoente do outro temo que o novo expoente é $9-12=-3$.

Vamos agora resolver o problema proposto.

Considere a diagonal que contém as potências $3^1$, $3^2$ e $3^3$. O enunciado nos diz que o produto dessas três potências é o mesmo que o produto das linhas e colunas.

Qual é esse produto? Usando o que foi discutido acima é fácil verificar que

$3^1\times 3^2 \times 3^3 = 3^{1+2+3}=3^6$

Por causa disso, o produto das potências na primeira linha (aquela que contém o A) deve ser:

$3^5\times A \times 3^3=3^6\Rightarrow 3^5\times3^3\times A=3^6$

$3^{5+3}\times A=3^6\Rightarrow 3^8\times A = 3^6$

Dividindo os dois lados por $3^8$:

$(3^8\times A)\div 3^8=3^6\div3^8$

$3^{8-8}\times A = 3^{6-8}\Rightarrow3^0\times A =3^{-2}$

Lembre-se que qualquer número (exceto o 0) elevado à potência 0 dá 1. Por isso:

$\boxed{A=3^{-2}}$

Vamos fazer o mesmo para a segunda linha que contém o B:

$B\times3^2\times3^4=3^6$

$B\times3^{2+4}=3^6\Rightarrow B\times3^6=3^6$

$(B\times3^6)\div3^6=3^6\div{3^6}$

$B\times3^{6-6}=3^{6-6}\Rightarrow B\times 3^0=3^0$

$\boxed{B=3^0=1}$

Finalmente, faremos o mesmo para a terceira linha que contém o C:

$3^1\times3^6\times C=3^6$

$3^{1+6}\times C=3^6\Rightarrow3^7\times C = 3^6$

$(3^7\times C)\div3^7=3^6\div 3^7$

$3^{7-7}\times C = 3^{6-7}\Rightarrow 3^0\times C = 3^{-1}$

$\boxed{C=3^{-1}}$

Então esses são os valores de A, B e C.
De maneira semelhante ao que foi feito até aqui é possível verificar que o produto das potências cada coluna dá sempre o mesmo resultado: $3^6$.