Question

Assunto: Equação reduzida da circunferência.​

Answer 1

Oii!

A equação reduzida de uma circunferência pode ser escrita como

(x - h)² + (y - k)² = r², em que (h,k) é o centro e r é o raio dessa circunferência.

4. Vamos observar essa equação:

(x + 1)² + (y - 3)² = 1

Para essa circunferência cruzar o eixo y, o valor de x tem de ser 0. Então, substituindo x por esse valor:

(0 + 1)² + (y - 3)² = 1

1 + y² - 6y + 9 = 1

y² - 6y + 9 = 0

Podemos fatorar:

(y - 3)(y - 3) = 0

(y - 3)² = 0

y = 3

Portanto, essa circunferência cruza o eixo y no ponto (0,3).

5. (x - h)² + (y - k)² = r²

Centro = (-3,-6)

Passa pelo ponto = (3,2)

(x + 3)² + (y + 6)² = r²

(3 + 3)² + (2 + 6)² = r²

36 + 64 = r²

r² = 100

Portanto, a equação dessa circunferência é (x + 3)² + (y + 6)² = 100

6. Para encontrarmos o centro e o raio da equação de uma circunferência, primeiramente, temos de colocá-la na sua forma reduzida.

a) x² + y² - 8x + 4y + 11 = 0

x² - 8x + y² + 4y = -11

(x² - 8x + 16) - 16 + (y² + 4y + 4) - 4 = -11

(x + 4)² + (y + 2)² = -11 + 16 + 4

(x + 4)² + (y + 2)² = 9

Centro = (-4,-2) ; Raio = 3

b) 3x² + 3y² + 6x - 12y + 18 = 0

3(x² + 2x) + 3(y² - 4y) = -18

3(x² + 2x + 1) - 3 + 3(y² - 4y + 4) - 12 = -18

3(x + 1)² + 3(y - 2)² = -18 + 3 + 12

(x + 1)² + (y - 2)² = -1

Não podemos ter um raio negativo.

Portanto, não é uma circunferência.

c) x² + y² - 14x - 1 = 0

x² - 14x + y² = 1

(x² - 14x + 49) - 49/4 + y² = 1

(x - 7)² + y² = 1 + 49

(x - 7)² + y² = 50

Centro = (7,0) ; Raio = 5√2

Answer 2

4) Para saber o ponto onde essa circunferência cruza o eixo Y, basta considerar X = 0.

Assim,

$(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 1 => (0 + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 1 => 1 + (y - 3)^{2} = 1 => (y - 3)^{2} = 1 - 1 => (y - 3)^{2} = 0 => y - 3 = 0 => y = 3$

Logo, os pontos que essa circunferência toca no eixo OY é (0, 3).

5) Nesse caso temos de cara: $eq1: (x - (- 3))^{2} + (y - (- 6))^{2} = R^{2} => (x + 3)^{2} + (y + 6)^{2} = R^{2}$

Para encontrar o raio, basta calcular a distância do centro para o ponto dado, por onde a circunferência passa.

$d = \sqrt{(xb - xa)^{2} + (yb - ya)^{2}} = \sqrt{(3 - (- 3))^{2} + (2 - (- 6))^{2}} = \sqrt{(6)^{2} + (8)^{2}} = \sqrt{36+ 64} = \sqrt{100} = 10$

Como a equação que essa distância encontrada, que é o nosso raio (distância do centro para o ponto dado), tem que ser ao quadrado, portanto,

$(x + 3)^{2} + (y + 6)^{2} = R^{2} => (x + 3)^{2} + (y + 6)^{2} = 10^{2} => (x + 3)^{2} + (y + 6)^{2} = 100$

6)