Question

Assinale V para as afirmações verdadeiras e F para as falsas.
A A função logarítmica f(x) = log√2 x é crescente. Verdadeiro Falso
B Se g(x) = log2/3 x, então g(3) > g(2). Verdadeiro Falso
C O gráfico da função y = log2 (x+1) não intersecta o eixo das ordenadas. Verdadeiro Falso
D O gráfico da função y = log2 x+1 intersecta o eixo das abscissas no ponto (1/2, 0) Verdadeiro Falso
E Os gráficos das funções f(x) = log1/4 x e g(x) = (1/4)x se intersectam no ponto (0,5; 0,5). Verdadeiro Falso

Answer 1

A ordem correta é F - F - F - F - V.

Vamos analisar cada uma das alternativas aplicando os conceitos de logaritmos:

a) Falsa. Temos a função

$f(x) = log_{\sqrt{2}}x$

Sabemos que $\sqrt{2} = 1,41$, ou seja, se encaixa na condição 0 < √2 < 1. Sempre que a base do logaritmando satisfazer essa condição a função f(x) é decrescente.

b) Falsa. Vamos analisar a desigualdade:

$g(3) > g(2)$

Substituindo x = 3 e x = 3 na função g(x), teremos:

$log_{2/3} 3 > log_{2/3} 2$

Temos a mesma base (2/3) para ambos. Como ela respeita a condição 0 < 2/3 < 1, então também é uma função decrescente. Deste modo, para eliminarmos o logaritmo de ambos os lados devemos inverter o sinal da desigualdade:

$log_{2/3} 3 > log_{2/3} 2\\\\3 < 2$

O que não pode ser verdade, visto que 3 sempre será maior que 2.

c) Falsa. O eixo das ordenadas é o eixo-Y. Todo ponto no eixo-Y terá x = 0. Portanto, vamos substituir x = 0 na função:

$y = log_2 (0 + 1) = log_2 1\\\\2^y = 1\\\\y = 0$

Portanto ele corta o eixo das ordenadas no ponto (0,0).

d) Falsa. O eixo das abscissas é o eixo-X. Todo ponto no eixo-X terá y = 0. Vimos na questão anterior que para y = 0 temos x = 0. Logo, f(x) corta o eixo das abscissas também em (0,0).

e) Verdadeira. Vamos substituir o ponto (1/2, 1/2) em ambas as funções:

$f(1/2) = log_{1/4} 1/2 = log_{1/4} 1/\sqrt{2^2} = log_{1/4}\sqrt{1/4} = (1/2)*log_{1/4}1/4 = (1/2)*1 = 1/2$

E também:

$g(1/2) = (1/4)^{1/2} = \sqrt{1/4} = 1/2$

Portanto, se ambos passam pelo ponto (1/2, 1/2), então eles se intersectam nesse ponto.

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