Question

Assinale a única alternativa correta. *
O produto de três irracionais distintos pode ser racional.
A soma de dois números irracionais é irracional.
O produto de um racional não-nulo com um irracional pode ser racional.
A soma de um racional com um irracional pode ser racional.
A diferença entre dois racionais é um número inteiro positivo.​

Answer 1

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⠀⠀☞ A opção a) é a única alternativa correta. ✅

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a) O produto..

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⠀⠀ ✅ Verdadeiro. Tomemos como exemplo:

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$\LARGE\blue{\text{ \sf \sqrt[3]{2} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{2}}{3} }}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf = \dfrac{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 3} }}$

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$\LARGE\blue{\sf = \dfrac{1}{6} \cdot (\sqrt[3]{2})^3}$

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$\LARGE\blue{\sf = \dfrac{1}{6} \cdot 2}$

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$\LARGE\blue{\sf = \dfrac{1}{3}}$

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b) A soma...

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⠀⠀ ❌ Falso. Tomemos como exemplo:

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$\LARGE\blue{\text{ \sf \overbrace{\sf \sqrt2}^{a} + \overbrace{\sf (1 - \sqrt{2})}^{b} }}$

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$\LARGE\blue{\sf = \sqrt2 + 1 - \sqrt{2}}$

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$\LARGE\blue{\sf = \sqrt2 - \sqrt{2} + 1}$

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$\LARGE\blue{\sf = 1}$

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c) O produto..

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⠀⠀ ❌ Falso. Sejam p, q, r e s quatro números inteiros e x um número irracional. Suponhamos que (p / q) * x = (r / s). Isto resultaria em:

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{p}{q} \cdot \dfrac{x}{1} = \dfrac{r}{s}}$

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{p \cdot x}{q} = \dfrac{r}{s}}$

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{x}{q} = \dfrac{r}{s \cdot p}}$

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$\LARGE\blue{\sf x = \dfrac{q \cdot r}{s \cdot p}}$

⠀

⠀⠀Porém sabemos que o produto de dois números inteiros sempre resultará em um valor inteiro, ou seja, teríamos que x pode ser escrito como uma fração de qr / sp, ou seja, x seria um número racional: o que seria absurdo pois definimos inicialmente x é um número irracional.

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d) A soma...

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⠀⠀ ❌ Falso. Sejam p, q, r e s quatro números inteiros e x um número irracional. Suponhamos que (p / q) + x = (r / s). Isto resultaria em:

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{p}{q} + \dfrac{x}{1} = \dfrac{r}{s}}$

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{p}{q} + \dfrac{q \cdot x}{q} = \dfrac{r}{s}}$

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{p + q \cdot x}{q} = \dfrac{r}{s}}$

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$\LARGE\blue{\sf p + q \cdot x = \dfrac{q \cdot r}{s}}$

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$\LARGE\blue{\sf q \cdot x = \dfrac{q \cdot r}{s} - p}$

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$\LARGE\blue{\sf q \cdot x = \dfrac{q \cdot r}{s} - \dfrac{s \cdot p}{s}}$

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$\LARGE\blue{\sf q \cdot x = \dfrac{q \cdot r - s \cdot p}{s}}$

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$\LARGE\blue{\sf x = \dfrac{q \cdot r - s \cdot p}{q \cdot s}}$

⠀

⠀⠀Porém sabemos que o produto e a diferença de dois números inteiros sempre resultará em um valor inteiro, ou seja, teríamos que x pode ser escrito como uma fração de (qr - sp) / qs, ou seja, x seria um número racional: o que seria absurdo pois definimos inicialmente x é um número irracional.

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e) A diferença...

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⠀⠀ ❌ Falso. Um contra-exemplo seria:

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{2}{4} - \dfrac{3}{4}}$

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$\LARGE\blue{\sf = \dfrac{2 - 3}{4}}$

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$\LARGE\blue{\sf = \dfrac{-1}{4}}$

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

⠀⠀☀️ Leia mais sobre números racionais e irracionais:

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✈ https://brainly.com.br/tarefa/38316091

✈ https://brainly.com.br/tarefa/38396100

✈ https://brainly.com.br/tarefa/38408102

$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$