Question

Assinale a alternativa que indica, aproximadamente, as coordenadas do centro de massa da placa abaixo, sabendo que a mesma tem densidade e espessura uniforme.

a) Xcm = 8,1 cm / Ycm = 6,4 cm
b) Xcm = 2,0 cm / Ycm = 1,6 cm
c) Xcm = 12,3 cm / Ycm = 9,4 cm
d) Xcm = 4,1 cm / Ycm = 3,2 cm
e) Xcm = 16,4 cm / Ycm = 12,8 cm

Answer 1

Resposta:

D

Explicação:

Para resolver exercícios de centro de massa de forma mais fácil, devemos seguir duas dicas:

• 1. Utilizar argumentos de simetria, seja ela em relação a um ponto, uma linha ou um plano.

• 2. Se o objeto puder ser dividido em várias partes, trate cada uma dessas partes como uma partícula, localizada no centro de massa da parte em questão.

* Solução:

1. Vou dividir a placa em duas áreas conforme figura abaixo. A área de cada parte é:

$\mathsf{S_A=2\cdot10=20\,cm^2}\\\\\mathsf{S_B=8\cdot4=32\,cm^2}$

2. Agora posso tratar a placa como se fosse um sistema de duas partículas A e B. As coordenadas do centro de massa da placa são dadas por:

$\boxed{\mathsf{X_{cm}=\dfrac{1}{M}\sum{m_i\cdot x_i}}}\qquad \mathsf{(1)}$

$\boxed{\mathsf{Y_{cm}=\dfrac{1}{M}\sum{m_i\cdot y_i}}}\qquad \mathsf{(2)}$

onde:

$\boxed{\mathsf{M=m_A+m_B}} \qquad \mathsf{(3)}$

3. Portanto, para nosso problema, as expressões acima ficam:

$\mathsf{X_{cm_{(A+B)}}=\dfrac{m_A\cdot x_A+m_B\cdot x_B}{m_A+m_B}}\qquad \mathsf{(4)}$

$\mathsf{Y_{cm_{(A+B)}}=\dfrac{m_A\cdot y_A+m_B\cdot y_B}{m_A+m_B}} \qquad \mathsf{(5)}$

4. Agora podemos obter as massas de cada placa através da densidade superficial delas, temos:

• Placa A

$\mathsf{\sigma=\dfrac{m_A}{S_A}}\\\\\boxed{\mathsf{m_A=\sigma\cdot S_A}}\qquad \mathsf{(6)}$

• Placa B

$\mathsf{\sigma=\dfrac{m_B}{S_B}}\\\\\boxed{\mathsf{m_B=\sigma\cdot S_B}}\qquad \mathsf{(7)}$

onde:

$\mathsf{\sigma=densidade\,superficial;}\\\\\mathsf{S_A=area\,placa\,A};\\\\\mathsf{S_B=area\,placa\,B.}$

5. Substituindo (6) em (4) obtemos:

$\mathsf{X_{cm_{(A+B)}}=\dfrac{(\sigma\cdot S_A)\cdot x_A+(\sigma \cdot S_B)\cdot x_B}{(\sigma \cdot S_A)+(\sigma \cdot S_B)}}\qquad \mathsf{(8)}$

$\boxed{\mathsf{X_{cm_{(A+B)}}=\dfrac{S_A\cdot x_A+S_B\cdot x_B}{S_A+ S_B}}}\qquad \mathsf{(9)}$

6. Substituindo (5) em (7) obtemos:

$\boxed{\mathsf{Y_{cm_{(A+B)}}=\dfrac{S_A\cdot y_A+S_B\cdot y_B}{S_A+ S_B}}}\qquad \mathsf{(10)}$

7. Agora, podemos calcular as coordenadas do centro de massa de cada placa. Como elas são uniformes, tem mesma densidade e espessura, as coordenadas de seus centros de massa são exatamente seus pontos médios, ou seja:

• Coordenadas do centro de massa placa A:

$\mathsf{x_A=ponto \,medio=1,0\,cm}\\\\\mathsf{y_A=ponto \, medio=5,0\,cm}$      

• Coordenadas do centro de massa placa B:

$\mathsf{x_B=ponto \,medio=6,0\,cm}\\\\\mathsf{y_B=ponto \, medio=2,0\,cm}$

8. Substituindo os valores acima nas equações (9) e (10), obtemos as coordenadas do centro de massa da placa total:

$\mathsf{X_{cm_{(A+B)}}=\dfrac{20\cdot 1+32\cdot 6}{20+ 32}}\\\\\therefore \boxed{\mathsf{X_{cm_{(A+B)}}=4,1\,cm}}$

$\mathsf{Y_{cm_{(A+B)}}=\dfrac{20\cdot 5+32\cdot 2}{20+ 32}}\\\\\therefore \boxed{\mathsf{Y_{cm_{(A+B)}}=3,2\,cm}}$

• Portanto a resposta é a alternativa D.

Bons estudos! =D

Equipe Brainly