Question

Assinale a alternativa que contenha a solução integral de ∫c F · dr, onde F( x,y,z ) = -y²i + xj + z²k e C é a curva da intersecção do plano y + z = 2 com o cilindro x² + y² = 1.
Utilize o Teorema de Stokes.
a. 1

b. 2

c. π

d. 2π

e. 1 + 2π

Answer 1

Letra c) $\pi$

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente vamos explicitar o teorema de Stokes:

$\oint_C \vec{F} \,dr=\iint_S \m \nabla \times \vec{F} \,ds$

Onde C é a curva fechada e S é qualquer superficie que tenha como única abertura a própria curva C. Isto é muito importante, pois por ser qualquer superfície com essa abertura, fica a nosso criterio escolher um que facilite nossos calculos.

Assim vamos primeiro enxergar a curva que iremos integrar. Ela é a intersecção entre o cilindro x² + y² = 1 (Cilindro de raio 1 paralelo ao eixo z) com o plano y + z = 2 (Plano inclinado que vem descendo do y negativo para o positivo). Vejamos melhor na figura em anexo.

Agora vamos fazer o rotacional de F:

$\nabla \times \vec{F}=(0)\vec{i}+(0)\vec{j}+(1+2y)\vec{k}$

$\nabla \times \vec{F}=(1+2y)\vec{k}$

Então agora vamos para a nossa integral de superfície:

$\iint_S \m \nabla \times \vec{F} . \,ds$

$\iint_S \m (\nabla \times \vec{F}).\vec{n} \,ds$

$\iint_S \m (1+2y)\vec{k}.\vec{n} \,ds$

Agora temos que escolher nossa superficie. Vamos escolher a superfície sendo o próprio cilindro x² + y² = 1, porém tampado em cima em z=4, pois como nosso campo vetorial só tem componentes em z, é melhor que escolhamos uma superficie cuja normal esta nesta mesmo direção, sendo assim, ficaremos como a imagem da figura porém virada para cima. E o único ponto da integral onde o produto de $\vec{k}.\vec{n}$ não é zero é em z=0, onde este vale 1 (pois k aponta para cima e n também). Assim ficamos com:

$\iint_S \m (1+2y) \,dx\,dy$

Trocando para coordenadas polares:

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \m (1+2rcos\theta)r \,d\theta\,dr$

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \m r+2{r}^{2}cos\theta \,d\theta\,dr$

Esta é um integral simples de se resolver e tem como valor:

$\int_{0}^{1} \m 2\pi r \,dr$

$2\pi ( \frac{1^2}{2}-\frac{0^2}{2})$

$\pi$

OBS: Perdão os códigos não terem funcionado no brainly, mas em qualquer leitor de LaTeX online vc consegue copiar e colar os códigos e ver as integrais explicitadas.