Question

Assinale a alternativa que contenha a derivada de f(x,y)=xe+cos(xy), no ponto P(2,0) e na direção do vetor v = (3i, -4j).

a. 0.

b.1.

c-1

d. 2

e.-2

Answer 1

A derivada direcional de uma função na direção de um vetor v unitário (ou versor na direção do vetor não unitário) é dada por:

$\vec{\nabla f}(x_0,y_0)\cdot\vec{v}$

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função

$\vec{\nabla f}=(\frac{\partial f}{\partial x}, \;\frac{\partial f}{\partial y})\\\\\vec{\nabla f}=(\frac{\partial }{\partial x}(xe+\cos(xy)),\; \frac{\partial f}{\partial x}(xe+\cos(xy))\\\\\vec{\nabla f}=(e-y.\sin(xy),\; -x\sin(xy))$

Agora, vamos calcular o versor na direção de v

$\frac{\vec{v}}{||\vec{v}||}=\frac{(3,\;-4)}{\sqrt{(3^2+(-4)^2)}}=\frac{(3,\;-4)}{5}=(\frac{3}{5},\;\frac{-4}{5})$

Com o gradiente e o versor, voltemos à derivada direcional

$\vec{\nabla f}(2,0)\cdot\vec{v}\\\\(e-0.\sin(2.0),\; -2\sin(2.0))\cdot(\frac{3}{5},\;\frac{-4}{5})\\\\(e,\;0)\cdot(\frac{3}{5},\;\frac{-4}{5})\\\\\frac{3e}{5}$

Verifique se não transcreveu os dados (função, vetor, ponto) da questão erroneamente. Caso não o tenha feito, o gabarito não está contido entre as opções.