Question

Assinale a alternativa que apresenta a negação da sentença " ∀x∈R,x+5<0 ". ∃x∈R,x+5≤0 ∀x∈R,x+5>0 ∃x∈R,x+5≥0 ∀x∈R,x+5≥0 ∃x∈R,x+5<0

Answer 1

A negação da sentença $``\forall x\in\mathbb{R}, x+5<0"$ é

$\Large``\exists x\in\mathbb{R},x+5\geq0."$

_____

Introdução

Sejam $B$ o conjunto formado por todos os brasileiros e a sentença aberta $p(x)\!:\,x$ gosta de futebol.

Agora considere a seguinte proposição:

$\Large\forall x\in B,\,p(x),$

que pode ser lida como "todo brasileiro gosta de futebol."

Como faríamos para negar essa afirmação?

Veja que basta existir ao menos um brasileiro que não goste de futebol para que essa proposição seja falsa.

Assim, a negação dessa proposição é "existe um brasileiro que não gosta de futebol". Simbolicamente, temos:

$\Large\exists x\in B,\,\sim\!p(x).$

Negação de proposição com quantificador universal

De uma forma geral, a negação de uma proposição do tipo $``\forall x\in A,\,p(x)"$ é $``\exists x\in A,\,\sim\!p(x)".$ Assim, temos a seguinte equivalência:

$\Large\sim\!\left[\forall x\in A,\,p(x)\right]\iff\exists x\in A,\,\sim\!p(x).$

Assim, basta trocarmos o quantificador universal pelo existencial e negar a sentença aberta $p(x).$

Questão

Qual a negação da proposição a seguir?

$\Large``\forall x\in\mathbb{R},\,x+5<0."$

Conforme visto, para responder a esta questão, basta trocar o quantificador universal pelo universal e negar a sentença aberta $x+5<0.$ A negação de $x+5<0$ é $x+5\geq0.$

Resposta

Logo, a negação da proposição dada é:

$\Large``\exists x\in\mathbb{R},\,x+5\geq0."$

Espero ter ajudado!

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