Question

Assinale a alternativa correta que corresponde a derivação implícita da equação: 2√x + √y = 3

a. y′(t)= − 2 √y
√x

b. y′(t) = √y
√x

c. y′(t) = 2√y
√x

d. y′(t) = − √y
√x

e. y′(t) = − 2√x
√y

Answer 1

Temos a seguinte equação:

$2 \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3$

A questão pede para usarmos a derivação implícita na equação. Primeiro devemos lembrar que nessa derivação implícita, a funcão $y$ é uma função de x, ou seja, $y = f(x)$, isto é, quando derivarmos a função de y, devemos usar a regra da cadeia. Aplicando esses conhecimentos temos que:

$\frac{d}{dx} (2 \sqrt{x} + \sqrt{y} ) = \frac{d}{dx}3 \: \: \: \\ \\ \frac{d}{dx} 2 \sqrt{x} + \frac{ d }{dx} \sqrt{y} = \frac{d}{dx} 3$

Transformando esses radicais em potência através da seguinte propriedade:

$\bullet \: \: \: \sqrt[m]{x {}^{n} } = x {}^{ \frac{n}{m} } \: \: \: \bullet$

Temos que:

$\frac{d}{dx}2.x {}^{ \frac{1}{2} } + \frac{d}{dx} y {}^{ \frac{1}{2} } = \frac{d}{dx} 3$

Como sabemos, a derivada de uma constante é igual a a 0, sabemos também que a derivada de uma constante multiplicada por uma função é igual a constante multiplicada pela derivada da função, então:

$2 \frac{d}{dx} x {}^{ \frac{1}{2} } + \frac{d}{dx} y {}^{ \frac{1}{2} } = 0$

Enfim, podemos aplicar a regra da potência:

$2. \frac{1}{2} .x {}^{ \frac{1}{2} - 1} + \frac{1}{2} .y {}^{ \frac{1}{2 } - 1} . \frac{dy}{dx} = 0 \\ \\ \frac{1}{x {}^{ \frac{1}{2} } } + \frac{1}{2y {}^{ \frac{1}{2} } } . \frac{dy}{dx} = 0 \\ \\ \frac{1}{2y {}^{ \frac{1}{2} } } . \frac{dy}{dx} = - \frac{1}{x {}^{ {}^{ \frac{1}{2} } } } \\ \\ \frac{dy}{dx} = \frac{ - \frac{1}{x {}^{ {}^{ \frac{1}{2} } } } }{\frac{1}{2y {}^{ \frac{1}{2} } } } \\ \\ \frac{dy}{dx} = - \frac{1}{x {}^{ \frac{1}{2} } } . \frac{2y {}^{ \frac{1}{2} } }{1} \\ \\ \boxed{ \boxed{ \frac{dy}{dx} = - \frac{2y {}^{ \frac{1}{2} } }{x {}^{ \frac{1}{2} } } \: \: ou \: \: - \frac{2 \sqrt{y} }{ \sqrt{x} } }}$

Espero ter ajudado