Question

As vezes o cálculo de integrais triplas em coordenadas cartesianas é inviável, assim faz-se necessário uma mudança de coordenadas. Considere a integral tripla da função f(x) = (x2 + y2)1/2 (em dV) na região E. A região E é a região contida dentro do cilindro x² + y² = 9 e entre os planos z = -1 e z = 2.

Resolva a integral utilizando coordenadas cilíndricas e assinale a alternativa correta.

Selecione uma alternativa:
a)
158.

b)
162.

c)
170.

d)
184.

e)
195.

Answer 1

Olá,

Coordenadas cilíndricas nada mais são que uma integral com coordenadas polares, mais o termo ''Z'', onde este integraremos normalmente.

Primeiramente temos que a função é:

$f(x)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

Note que transformando para coordenadas polares essa função equivale ao raio (''R'') de certa figura.

Logo teremos uma integral da seguinte forma:

$\int\limits \int\limits \int\limits {R.R} \, drd \alpha dz$

Note que temos mais um termo ''R'' dentro da integral, ele é devido a uma característica da integral de coordenadas polares, caso não entenda aconselho que de uma olhada em como as integrais com coordenadas polares são feitas.

Olhando a figura, logo sabemos que seu raio variará de 0 a 3 pois:

$x^{2}+y^{2}=R^{2}\\ \\ 9=3^{2}$

sabemos também que o angulo alpha, variará de 0 a 2π, pois trata-se de um cilindro fechado.

Agora temos a seguinte integral:

$\int\limits^2_{-1} \int\limits^ {2\pi}_0\int\limits^3_0 {R^{2}} \, dxd \alpha dz$

Resolvendo...

$\int\limits^2_{-1} \int\limits^ {2\pi}_0 {9} \,d \alpha dz\\ \\ \int\limits^2_{-1}  {18}\pi  \dz\\ \\ f(x)=54\pi$

Resposta: 54π ≈ 169,65 ≈ 170 Letra C

Espero ter ajudado.

Answer 2

Resposta:segue em anexo foto da resposta correta corrigida pelo ava .

Explicação: