Question

As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entre as principais aplicações da Algebra Linear. Lembrando: dados dois conjuntos, não vazios, U e V, uma aplicação (transformação) de U em V é uma "lei" que associa a cada elemento de U um único elemento de V. Se denotamos por F esta aplicação, então, o elemento associado é denotado por F(u), que está em V, denominado a imagem de u pela aplicação F. Para a Transformação a seguir, responda ao que se pede: T: R³ --> R³, T(x,y,z) = (x 2y z, x 2z, x y 2z) (a) A Transformação é Linear? Comprove sua resposta através da aplicação da conservação, ou não, das Operações de Soma e Multiplicação. (b) Qual o Núcleo de T [ Ker(T) ]? (c) Qual da dimensão do Núcleo [ dim(Ker) ]? A Transformação é injetora? (d) Qual a Imagem de T [ Im(T) ]? (e) Qual a dimensão da Imagem [ dim(Im) ]? A Transformação é sobrejetora? (f) Qual a matriz da Transformação? (g) Quais seus autovalores? (h) Quais seus autovetores?

Answer 1

Resposta:

Letra A:

SOMA:

T (v1 + v2 ) = T (v1) + T (v2)

V1 = (x1, y1, z1)

V2 = (x2, y2, z2)

T (v1) = ( x1 + 2y1 + z1 , x1 + 2z1, x1 + y1 + 2z1)

T (v2) = ( x2 + 2y2 + z2 , x2 + 2z2, x2 + y2 + 2z2)

v1 + v2 = x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2

T (v1 + v2) = {(x1 + x2) + 2(y1 + y2) + (z1 + z2) , (x1 + x2) + 2(z1 + z2) , (x1 + x2) + (y1 + y2) + 2(z1 + z2)}

T (v1 + v2) = {( x1 + 2y1 + z1) + (x2 + 2y2 + z2) , (x1 + 2z1) + (x2 + 2z2) , (x1 + y1 + 2z1) + (x2 + y2 + 2z2)}

T (v1 + v2) = {(x1 + 2y1 + z1 , x1 + 2z , x1 + y1 + 2z1 ) + (x2 + 2y2 + z2, x2 + 2z2 , x2 + y2 + 2z2)}

Portanto T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2)

MULTIPLICAÇÃO

T ( α v1 ) = α . T (v1)

Α α v1 = ( αx1 , αy1, αz1 )

T (α v1) = ( αx1 + 2αy1 + αz1 , αx1 + 2αz1 , αx1 + αy1 + 2αz1 )

T (α v1) = { α (x1 + 2y1 + z1), α (x1 + 2z1), α (x1 + y1+ 2z1)}

T (α v1)= α (x1 + 2y1 + z1 , x1 + 2z1, x1 + y1 + 2z1)

Portanto T (α v1) = α T(v1)

Letra B:

T: R³ –> R³, T(x,y,z) = (x + 2y + z, x + 2z, x + y + 2z)

X + 2y + z = 0

X +         z = 0

X + y + 2z = 0

Portanto: Ker (T) = (0,0,0)

Letra C:

Dimensão = 0

A transformação é Injetora

Letra D:

Im (T)  = (x,y,z) = (x+2y+z, x+2z, x+y+2z)=

        (x+2y+z) + (x+2z) + (x+y+2z) =

        X(1,1,1) + y(2,0,1) + z(1,2,2)=

Portanto a Im (T) = {(1,1,1); (2,0,1); (1,2,2)}

Letra E:

Dimensão = 3

Sim, a Transformação é sobrejetora.

Letra F:

1    1   1

2   0   1

1   2   2