Question

As trajetórias descritas pela reta de equação x + 2y – 1 = 0 e pela circunferência (x – 3 )² + ( y + 4 )² = 9 se cruzam num ponto P (3,-1). Quais são as coordenadas do outro ponto de cruzamento dessas duas trajetórias?

Answer 1

As coordenadas do outro ponto de cruzamento dessas duas trajetórias são x = 27/5 e y = -11/5.

Da equação da reta, podemos dizer que x = -2y + 1. Substituindo o valor de x na equação da circunferência:

(-2y + 1 - 3)² + (y + 4)² = 9

(-2y - 2)² + (y + 4)² = 9

4y² + 8y + 4 + y² + 8y + 16 = 9

5y² + 16y + 11 = 0.

Temos aqui uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = 16² - 4.5.11

Δ = 256 - 220

Δ = 36

$y=\frac{-16+-\sqrt{36}}{2.5}$

$y=\frac{-16+-6}{10}$

$y'=\frac{-16+6}{10}=-1$

$y''=\frac{-16-6}{10}=-\frac{11}{5}$.

Com y = -1, obteremos o ponto citado no enunciado. Então, vamos considerar que y = -11/5.

Substituindo em x = 1 - 2y:

x = 1 - 2.(-11/5)

x = 1 + 22/5

x = 27/5.

Portanto, o outro ponto é (27/5,-11/5).