Question

As taxas relacionadas se referem à variação de uma grandeza com relação à outra.
Para resolver os problema de taxas relacionadas, é necessário calcular a taxa de variação de uma grandeza em termos da taxa de variação da outra. Tal procedimento consiste em achar uma equação que relacione as duas grandezas e então usar a Regra da Cadeia para derivar ambos os lados em relação ao tempo ou a variável independe utilizada.

Se dois resistores de resistência R1 e R2 estão conectados em paralelos, como mostrado na figura a seguir, a resistência equivalente R será dada por ...


Alguém pode nos ajudar??

Answer 1

Olá, 

Devemos calcular o valor da resistência equivalente R que será necessário para encontrarmos a sua respectiva taxa de variação. Utilizando a fórmula dada no enunciado, temos:

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$

Como R1 = 80 Ω e R2 = 100 Ω, temos que R será:

$\frac{1}{R} = \frac{1}{80} + \frac{1}{100}$

Podemos encontrar a soma das frações a partir do mínimo múltiplo comum entre 80 e 100, para encontrar um denominador comum. mmc(80,100) = 400.

Para saber o numerador da fração com o denominador comum devemos dividir o mmc, no caso 400, pelo denominador das frações que se quer tornar o denominador comum (80 e 100). 400/80 = 5 e 400/100 = 4. Logo, os numeradores serão 4 e 5 respectivamente. Logo:

$\frac{1}{R} = \frac{4}{400} + \frac{5}{400}$

Com os denominadores iguais podemos somar as duas frações, logo:

$\frac{1}{R} =\frac{9}{400}$

Para sabermos R devemos inverter o resultado, logo:

$R =\frac{400}{9}\Omega$

Podemos agora tomar a equação da resistência equivalente e derivá-la. Mas inicialmente vamos reescrevê-la de outra forma. Logo:

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}$

Como o uma fração é dada por $\frac{1}{R} = R^{-1}$, logo:

$R^{-1} = R_{1}^{-1}+R_{2}^{-1}$

A regra da derivação para potências e com regra da cadeia é dada por $x^{n} = n.x^{n-1}.\frac{dx}{dt}$, logo, temos:

$-R^{-2}\frac{dR}{dt}=-R_{1}^{-2}.\frac{dR_{1}}{dt}-R_{2}^{-2}.\frac{dR_{2}}{dt}$ 

Como R = 400/9 Ω,  R1 = 80 Ω, R2 = 100 Ω, $\frac{dR_{2}}{dt} = 0.2 \Omega/s$, $\frac{dR_{1}}{dt} = 0.3 \Omega/s$. Logo:

$-(400/9)^{-2}*\frac{dR}{dt} = -(80)^{-2}*0.3-(100)^{-2}*0.2$

Isolando a variação de R e tirando o sinal negativo em evidência. Logo:

$\frac{dR}{dt} = \frac{-((80)^{-2}*0.3+(100)^{-2}*0.2)}{-(400/9)^{-2}}$
$\frac{dR}{dt} = \frac{(80)^{-2}*0.3+(100)^{-2}*0.2}{(400/9)^{-2}}$

Substituindo os valores, temos:

$\frac{dR}{dt} = \frac{0,00015625*0.3+0,0001*0.2}{0,00050625}$

Logo,

$\frac{dR}{dt} =0,1320\Omega/s$

Portanto, a alternativa correta é a letra D.

Espero ter ajudado. Bons estudos.