Question

As somas dos n primeiros termos das sequências aritméticas (8, 12,...) e (17, 19,...) são iguais. Qual é o valor de n?

Answer 1

Ola Flor 

PA

a1 = 8
a2 = 12
r = a2 - a1 = 12 - 8 = 4

PB

b1 = 17
b2 = 19
r = b2 - b1 = 19 - 17 = 2

soma de uma PA

Sn = (a1 + an)*n/2

existe uma outra formula da soma

Sn = a1*n + r*(n - 1)*n/2 

PA

Sa = 8n + 4*(n - 1)*n/2  = 8n + 2n² - 2n = 2n² + 6n
Sb = 17n + 2*(n - 1)/n/2 = 17n + n² - n = n² + 16n 

mas Sa = Sb

2n² + 6n = n² + 16n 

n² - 10n = 0

n*(n - 10) = 0

n = 10 termos 

vamos conferir 

a1 = 8
a10 = 8 + 9*4 = 44

Sa = (8 + 44)*10/2 = 260 

b1 = 17
b10 = 17 + 9*2 = 35

Sb = (17 + 35)*10/2 = 260 

Answer 2

an = a1+(n-1).r
an = 8+(n-1).4
an = 8+4n-4
an = 4n+4

Sn = (a1+an).n/2
Sn = (8+4n+4).n/2
Sn = (4n+12).n/2

an2 = 17+(n-1).2
an2 = 17+2n-2
an2 = 2n+15
Sn2 = (17+2n+15).n/2
Sn2 = (2n+32).n/2

(4n+12).n/2 = (2n+32).n/2
4n+12 = 2n+32
4n-2n = 32-12
2n = 20
n = 20/2
n = 10