Matemática, perguntado por marcela9594, 10 meses atrás

As retas suportes dos lados do triângulo ABC são: AB: 2x + y + 4 = 0; BC: x - 2y - 3 = 0 e AC: x + 3y - 3 = 0. Responda:
5.a. Quais as coordenadas dos vértices A, B e C do triângulo?
5.b. Mostre que o triângulo ABC é isósceles;
5.c. Mostre que o triângulo ABC é retângulo.

Soluções para a tarefa

Respondido por silvageeh
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As coordenadas dos vértices A, B e C do triângulo são, respectivamente, A(-3,2), B(-1,-2) e C(3,0); Como AB = BC, então ABC é isósceles; O Teorema de Pitágoras é válido, logo ABC é retângulo.

5.a. Para determinarmos os vértices A, B e C do triângulo, precisamos das interseções entre duas retas.

Com 2x + y + 4 = 0 e x - 2y - 3 = 0 obtemos o ponto B.

Sendo x = 2y + 3, temos que:

2(2y + 3) + y + 4 = 0

4y + 6 + y + 4 = 0

5y + 10 = 0

5y = -10

y = -2.

Logo,

x = 2.(-2) + 3

x = -4 + 3

x = -1.

O ponto B é (-1,-2).

Com 2x + y + 4 = 0 e x + 3y - 3 = 0 obtemos o ponto A.

Sendo x = -3y + 3, temos que:

2(-3y + 3) + y + 4 = 0

-6y + 6 + y + 4 = 0

-5y + 10 = 0

5y = 10

y = 2.

Logo,

x = -3.2 + 3

x = -6 + 3

x = -3.

O ponto A é (-3,2).

Com x - 2y - 3 = 0 e x + 3y - 3 = 0 obtemos o ponto C.

Como x = 2y + 3 e x = -3y + 3, então:

2y + 3 = -3y + 3

y = 0.

Logo, x = 3 e o ponto C é (3,0).

5.b. Para mostrar que o triângulo ABC é isósceles, vamos calcular as distâncias entre os pontos A e B, A e C, B e C.

Distância entre A e B

d² = (-3 + 1)² + (2 + 2)²

d² = (-2)² + 4²

d² = 4 + 16

d² = 20

d = √20.

Distância entre A e C

d² = (-3 - 3)² + (2 - 0)²

d² = (-6)² + 2²

d² = 36 + 4

d² = 40

d = √40.

Distância entre B e C

d² = (-1 - 3)² + (-2 - 0)²

d² = (-4)² + (-2)²

d² = 16 + 4

d² = 20

d = √20.

Temos que AB = BC. Logo, o triângulo é isósceles.

5.c. Observe que:

(√40)² = (√20)² + (√20)².

Isso quer dizer que o Teorema de Pitágoras é satisfeito. Portanto, o triângulo é retângulo.

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