As retas suportes dos lados do triângulo ABC são: AB: 2x + y + 4 = 0; BC: x - 2y - 3 = 0 e AC: x + 3y - 3 = 0. Responda:
5.a. Quais as coordenadas dos vértices A, B e C do triângulo?
5.b. Mostre que o triângulo ABC é isósceles;
5.c. Mostre que o triângulo ABC é retângulo.
Soluções para a tarefa
As coordenadas dos vértices A, B e C do triângulo são, respectivamente, A(-3,2), B(-1,-2) e C(3,0); Como AB = BC, então ABC é isósceles; O Teorema de Pitágoras é válido, logo ABC é retângulo.
5.a. Para determinarmos os vértices A, B e C do triângulo, precisamos das interseções entre duas retas.
Com 2x + y + 4 = 0 e x - 2y - 3 = 0 obtemos o ponto B.
Sendo x = 2y + 3, temos que:
2(2y + 3) + y + 4 = 0
4y + 6 + y + 4 = 0
5y + 10 = 0
5y = -10
y = -2.
Logo,
x = 2.(-2) + 3
x = -4 + 3
x = -1.
O ponto B é (-1,-2).
Com 2x + y + 4 = 0 e x + 3y - 3 = 0 obtemos o ponto A.
Sendo x = -3y + 3, temos que:
2(-3y + 3) + y + 4 = 0
-6y + 6 + y + 4 = 0
-5y + 10 = 0
5y = 10
y = 2.
Logo,
x = -3.2 + 3
x = -6 + 3
x = -3.
O ponto A é (-3,2).
Com x - 2y - 3 = 0 e x + 3y - 3 = 0 obtemos o ponto C.
Como x = 2y + 3 e x = -3y + 3, então:
2y + 3 = -3y + 3
y = 0.
Logo, x = 3 e o ponto C é (3,0).
5.b. Para mostrar que o triângulo ABC é isósceles, vamos calcular as distâncias entre os pontos A e B, A e C, B e C.
Distância entre A e B
d² = (-3 + 1)² + (2 + 2)²
d² = (-2)² + 4²
d² = 4 + 16
d² = 20
d = √20.
Distância entre A e C
d² = (-3 - 3)² + (2 - 0)²
d² = (-6)² + 2²
d² = 36 + 4
d² = 40
d = √40.
Distância entre B e C
d² = (-1 - 3)² + (-2 - 0)²
d² = (-4)² + (-2)²
d² = 16 + 4
d² = 20
d = √20.
Temos que AB = BC. Logo, o triângulo é isósceles.
5.c. Observe que:
(√40)² = (√20)² + (√20)².
Isso quer dizer que o Teorema de Pitágoras é satisfeito. Portanto, o triângulo é retângulo.