Question

As retas r e s definidas por r:kx-(k+2)y=2 e s:ky-x=3. Calcule k de maneira que:
r e se sejam perpendiculares

Answer 1

Resposta:

k = -3 ou k = 0

Explicação passo-a-passo:

Para que as retas sejam perpendiculares, algebricamente temos que o produto de seus coeficientes angulares é igual a -1. Assim, temos:

Reta r:

kx - (k + 2)y = 2

-(k + 2)y = 2 - kx

(k + 2)y = kx - 2

y = (kx - 2)/(k + 2)

y = [kx/(k + 2)] - [2/(k + 2)] (equação reduzida da reta r)

Assim, seu coeficiente angular, que é o coeficiente de x, onde indicaremos por m1, é igual a:

m1 = k/(k + 2)

Reta s:

ky - x = 3

ky = x + 3

y = (x + 3)/k

y = (x/k) + (3/k) (equação reduzida da reta s)

Assim, seu coeficiente angular, que é o coeficiente de x, onde indicaremos por m2, é igual a:

m2 = 1/k

Como já dito, para que r e s sejam perpendiculares, é preciso que m1.m2 = -1. Assim, temos:

m1.m2 = -1

[k/(k + 2)].[1/k] = -1

[k/k.(k + 2)] = -1

k/(k² + 2k) = -1

k = -(k² + 2k)

k = -k² - 2k

k² + k + 2k = 0

k² + 3k = 0

k(k + 3) = 0

k' = 0

k + 3 = 0

k" = -3