Question

As retas (r) 2x + 7y = 3 e (s) 3x – 2y = -8 se cortam num ponto P. Ache a equação da reta perpendicular a r pelo ponto P.

Answer 1

Resposta:

$t:~y=\dfrac{7x+16}{2}$

Explicação passo-a-passo:

Oi! Para resolvermos esse exercício, primeiramente vamos passar a equação das retas para a forma reduzida ($y=mx+n$).

Reta r:

$2x+7y=3\\\\2x-3=-7y\\\\y=\dfrac{-2x+3}{7}$

Reta s:

$3x-2y=-8\\\\3x+8=2y\\\\y=\dfrac{3x+8}{2}$

Temos que igualar as duas equações, para descobrir o ponto P de encontro entre elas.

$\dfrac{-2x+3}{7}=\dfrac{3x+8}{2}\\\\-4x+6=21x+56\\\\-4x-21x=56-6\\\\-25x=50\\\\x=-\dfrac{50}{25}\\\\x=-2$

Portanto, a coordenada x do ponto P é -2.

Para descobrirmos y, basta substituir x por -2 em qualquer uma das equações. Tanto faz em qual for, pois o resultado será o mesmo.

$y=\dfrac{-2x+3}{7}\\\\y=\dfrac{-2(-2)+3}{7}\\\\y=\dfrac{4+3}{7}\\\\y=\dfrac{7}{7}\\\\\boxed{y=1}$

ou

$y=\dfrac{3x+8}{2}\\\\y=\dfrac{3(-2)+8}{2}\\\\y=\dfrac{-6+8}{2}\\\\y=\dfrac{2}{2}\\\\\boxed{y=1}$

Juntando as duas coordenadas obtemos P (-2, 1).

Agora, vamos achar a equação da reta (t) perpendicular a r no pelo ponto P.

Na equação reduzida da reta ($y=mx+n$), m representa o coeficiente angular e n o coeficiente linear.

Quando multiplicamos o coeficiente angular de retas perpendiculares, obtemos como resultado -1.

Logo, $m_r\cdot{m_t}=-1$

Vamos descobrir o coeficiente angular de r.

$r:~y=\dfrac{-2x+3}{7}\\\\m_r=\dfrac{-2}{7}$

Então,

$\dfrac{-2}{7}\cdot{m_t}=-1\\\\-2m_t=-7\\\\2m_t=7\\\\m_t=\dfrac{7}{2}$

Agora, só precisamos do valor de n para achar a equação da reta t.

Já que sabemos que t passará por P, podemos substituir os valor de x, y e m na equação. Assim, descobrindo n.

$y=mx+n\\\\1=\dfrac{7}{2}(-2)+n\\\\1=-7+n\\\\n=1+7\\\\n=8$

Portanto, a equação da reta t é:

$t:~y=\dfrac{7}{2}x+8$

ou

$t:~y=\dfrac{7x+16}{2}$

Saiba mais em:

1. Retas concorrentes: https://brainly.com.br/tarefa/25475126

2. Retas perpendiculares: https://brainly.com.br/tarefa/12047946

Espero ter ajudado. Qualquer dúvida pode deixar nos comentários. Bons estudos! ♥️