As retas r: 2x-1 e s: 3x+2y-5=0 cruzam-se em um ponto P da circunferência de centro(2,4). Qual é o ponto diametralmente oposto a P?
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Para encontrar o ponto P basta calcular a interseção entre as duas retas.
r => y = 2x - 1 {eq 1}
s => 3x + 2y - 5 = 0 {eq 2}
Substitua y da {eq 1} na eq {2},
3x + 2(2x - 1) - 5 = 0
3x + 4x - 2 - 5 = 0
7x - 7 = 0
7x = 7 => x = 7/7 => x = 1
Pela {eq 1},
y = 2x - 1 { como x = 1},
y = 2(1) - 1
y = 2 - 1 => y = 1
As coordenadas do ponto P são (1; 1)
Chame o centro da circunferência α de C.
O ponto diametralmente oposto a P será um ponto Q. O centro da circunferência α de coordenadas C(2; 4) será o ponto médio entre P e Q.
Use a expressão para cálculo do ponto médio,
xC = (xP + xQ)/2
2 = (1 + xQ)/2
4 = 1 + xQ
xQ = 4 - 1 => xQ = 3
yC = (yP + yQ)/2
4 = (1 + yQ)/2
8 = 1 + yQ
yQ = 8 - 1 => yQ = 7
O ponto Q que é diametralmente oposto a P tem coordenadas (3; 7)
Resposta: (3; 7)
r => y = 2x - 1 {eq 1}
s => 3x + 2y - 5 = 0 {eq 2}
Substitua y da {eq 1} na eq {2},
3x + 2(2x - 1) - 5 = 0
3x + 4x - 2 - 5 = 0
7x - 7 = 0
7x = 7 => x = 7/7 => x = 1
Pela {eq 1},
y = 2x - 1 { como x = 1},
y = 2(1) - 1
y = 2 - 1 => y = 1
As coordenadas do ponto P são (1; 1)
Chame o centro da circunferência α de C.
O ponto diametralmente oposto a P será um ponto Q. O centro da circunferência α de coordenadas C(2; 4) será o ponto médio entre P e Q.
Use a expressão para cálculo do ponto médio,
xC = (xP + xQ)/2
2 = (1 + xQ)/2
4 = 1 + xQ
xQ = 4 - 1 => xQ = 3
yC = (yP + yQ)/2
4 = (1 + yQ)/2
8 = 1 + yQ
yQ = 8 - 1 => yQ = 7
O ponto Q que é diametralmente oposto a P tem coordenadas (3; 7)
Resposta: (3; 7)
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O ponto diametralmente oposto a P é (3, 7).
O ponto de interseção entre as retas r e s é dado igualando as equações das retas:
y = 2x-1
2y = 5 - 3x
4x-2 = 5 - 3x
7x = 7
x = 1
y = 2.1 - 1
y = 1
O ponto P é (1, 1) e pertence a circunferência com centro C(2,4). A equação dessa circunferência é:
(x-2)² + (y-4)² = r²
O ponto diametralmente oposto a P será um ponto Q que também pertence a circunferência, de modo que a distância entre o centro e o ponto P é a mesma que a distância entre o centro e Q, ou seja, C é o ponto médio entre de PQ:
xC = (xP + xQ)/2
yC = (yP + yQ)/2
2.2 = 1 + xQ
xQ = 3
4.2 = 1 + yQ
yQ = 7
O ponto Q é (3, 7).
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