Question

As raízes de equação x³+3x²-22x-24=0 formam uma progressão aritmética. Encontre-as

Answer 1

Resposta:

Resolvamos a equação abaixo:

$x^3 + 3x^2 - 22x - 24 = 0.$

Chamemos as raízes dessa equação de $x_1$, $x_2$ e $x_3$.

Sabemos que elas formam uma progressão aritmética. Assim:

$x_2 = x_1 + r;\\\\x_3 = x_1 + 2r,$

onde $r$ é a razão da progressão.

Temos:

$(x -x_1)(x -x_2)(x -x_3) = x^3 + 3x^2 -22x - 24\\\\x^3 + x^2(-3x_1-3r) + x(3x_1^2 + 6x_1r + 2r^2) + (x_1^3 + 3x_1^2r + 2r^2x_1) = x^3 + 3x^2 - 22x - 24.$

Da igualdade acima, segue-se que:

$-3x_1 -3r = 3\\\\\Longleftrightarrow -3(x_1+r) = 3\\\\\Longleftrightarrow x_1 + r = -1\\\\\Longleftrightarrow r = -1 - x_1$

Segue-se também que:

$3x_1^2 + 6x_1r + 2r^2 = -22\\\\\Longleftrightarrow 3x_1^2 + 6x_1(-1 - x_1) + 2(-1-x_1)^2 = -22\\\\\Longleftrightarrow -x_1^2 -2x_1 + 24 = 0\\\\\Longleftrightarrow -(x_1 + 6)(x_1 - 4) = 0\\\\\Longleftrightarrow x_1 = -6\,\,ou\,\,x_1 = 4.$

Para $x_1 = -6$, $r = -1 - (-6) = 5.$ Logo, $x_2 = -6 + 5 = -1$ e $x_3 = -6 + 10 = 4.$

Para $x_1 = 4$, $r = -1 - 4 = -5$. Assim, $x_2 = 4 -5 = -1$ e $x_3 = 4 - 10 = -6.$

Em ambos os casos, as raízes são as mesmas, mudando-se apenas a ordem.

Portanto, o conjunto solução da equação dada é:

$S = \left\{ -6, -1, 4 \right\}.$