Question

As progressões aritméticas (2,9,16,...,k) e (382, 370, 358, ...., k) são finitas e tem o mesmo numero de termos. O valor de k é igual a ???

Answer 1

Analisemos cada uma das PAs. O termo geral da primeira PA, com razão r=7 e primeiro termo $a_1=2$, é $a_n = 2 + 7(n-1) \Rightarrow a_n = 7n - 5$. Já o termo geral da segunda, com primeiro termo $b_1 = 382$ e razão r = -12, é $b_n = 382 - 12(n-1) \Rightarrow b_n = -12n + 394$.
Podemos fazer $a_n = b_n$, pois ambos os termos são iguais a k e ambas as PAs têm o mesmo número de termos, o n é igual pras duas. Substituindo as respectivas expressões temos:

7n - 5 = -12n + 394 ⇒ 7n + 12n = 394 + 5 ⇒ 19n = 399 ⇒ n = 21.

Agora que temos o número de termos da PA podemos substituir o valor de n encontrado para encontrar o valor de k. Substituindo na expressão de $a_n$ temos:

k = 7.21 - 5 ⇒ k = 147 - 5 ⇒ $\boxed{\boxed{k = 142}}$

Answer 2

O valor de k é igual a 142.

O termo geral de uma progressão aritmética é definido por aₙ = a₁ + (n - 1).r, sendo:

• a₁ = primeiro termo
• n = quantidade de termos
• r = razão.

Na progressão aritmética (2, 9, 16, ..., k), temos que o primeiro termo é 2, a razão é igual a 9 - 2 = 7 e o último termo é k.

Substituindo essas informações na fórmula dada acima, obtemos:

k = 2 + (n - 1).7

k = 2 + 7n - 7

k = 7n - 5

7n = k + 5

n = (k + 5)/7.

Na progressão aritmética (382, 370, 358, ..., k) temos que o primeiro termo é 382, a razão é 370 - 382 = -12 e o último termo é k.

Assim:

k = 382 + (n - 1).(-12)

k = 382 - 12n + 12

k = 394 - 12n

12n = 394 - k

n = (394 - k)/12.

Como as quantidades de termos são iguais, então temos a seguinte equação:

(k + 5)/7 = (394 - k)/12

12(k + 5) = 7(394 - k)

12k + 60 = 2758 - 7k

12k + 7k = 2758 - 60

19k = 2698

k = 142.

Para mais informações sobre progressão aritmética: https://brainly.com.br/tarefa/19835467