Question

As posições relativas entre as retas são respectivamente: I) 4x - 2y - 2 = 0 e 8x - 4y + 9 = 0 II) 3x + y - 2 = 0 e 2x - y - 1 = 0 III) 2x + y + 3 = 0 e x - 2y - 3 = 0

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se a posição relativa entre as retas das seguintes questões:


i) Chamaremos as retas abaixo de "r" e "s":

"r" -----> 4x - 2y - 2 = 0
e
"s" ----> 8x - 4y + 9 = 0

Veja: para sabermos a posição entre duas retas, deveremos, primeiro, encontrar os seus coeficientes angulares.

i.a) Para a reta "r", que é:

4x - 2y - 2 = 0 ------ isolando "-2y", teremos;

- 2y = - 4x + 2 ---- para facilitar, poderemos dividir ambos os membros por "-2", com o que ficaremos assim:

y = 2x - 1 <--- Veja: o coeficiente angular da reta "r" é "2" (é o coeficiente de "x" após havermos isolado "y").


i.b) Para a reta "s", que é;

8x - 4y + 9 = 0 ---- isolando "-4y", teremos;

- 4y = - 8x - 9 ---- multiplicando ambos os membros por "-1", teremos;

4y = 8x + 9)
y = (8x + 9)/4 ------ ou, dividindo-se ambos os membros por "4":

y = 8x/4 + 9/4 , ou apenas;
y = 2x + 9/4 <--- Veja: o coeficiente angular da reta "s" também é "2" (é o coeficiente de "x" após havermos isolado "y").


i.c) Assim, como os dois coeficientes são iguais e o outro termo é diferente, então as retas "r" e "s" são PARALELAS e não coincidentes (observação: para serem paralelas e coincidentes, seria necessária a igualdade, não só dos dois coeficientes angulares, mas também do outro termo).


ii) Chamaremos, também de "r" e "s" as retas abaixo:

"r" ---> 3x + y - 2 = 0
e
"s" ---> 2x - y - 1 = 0. 

Agora vamos encontrar o coeficiente angular de cada uma delas.


ii.a) Para a reta "r", que é:

3x + y - 2 = 0 ---- isolando "y", teremos;

y = - 3x + 2 <--- Veja: o coeficiente angular da reta "r" é "-3" (é o coeficiente de "x" após havermos isolado "y").

ii.b) Para a reta "s", que é :

2x - y - 1 = 0 ---- isolando "-y", teremos:

- y = - 2x + 1 ----- multiplicando ambos os membros por "-1", teremos;

y = 2x - 1 <--- Veja: o coeficiente angular da reta "s" é "2" (é o coeficiente de "x" após havermos isolado "y").

ii.c) Assim, como o coeficiente angular da reta "r" (igual a "-3") é diferente do da reta "s" (que é igual a "2"), e ainda, como o produto entre esses dois coeficientes NÃO é igual a "-1", então essas duas retas são meramente CONCORRENTES, ou seja, elas se encontram em um ponto.


iii) Também chamaremos as retas deste item de "r" e de "s":

"r" ---> 2x + y + 3 = 0
e
"s" ---> x - 2y - 3 = 0

Agora vamos encontrar os coeficientes angulares delas duas.


iii.a) Para a reta "r", que é:

2x + y + 3 = 0 ---- isolando "y", teremos:
y = - 2x - 3 <--- Veja; o coeficiente angular da reta "r" é "-2" (é o coeficiente de "x" após havermos isolado "y").

iii.b) Para a reta "s", que é:

x - 2y - 3 = 0 ---- isolando "-2y", temos:
- 2y = - x + 3 ----- multiplicando ambos os membros por "-1", teremos:

2y = x - 3 ---- isolando "y", teremos:
y = (x-3)/2 --- ou, dividindo-se cada fator por "2":

y = x/2 - 3/2 <---- Veja: o coeficiente angular da reta "s" é "1/2". É o coeficiente de "x" após havermos isolado "y".


iii.c) Assim, como o coeficiente angular da reta "r" é igual a "-2" e o coeficiente angular da reta "s" é igual a "1/2", então você poderá ver que o produto entre os dois coeficientes angulares é exatamente igual a "-1". Quando isso ocorre é porque as retas são concorrentes e PERPENDICULARES.

Veja que: (-2)*(1/2) = -2*1/2*1 = -2/2 = - 1 <--- Veja aí: esta é a característica de duas retas quando elas são perpendiculares.



Deu pra entender o desenvolvimento de todas as três questões?


OK?
Adjemir.