Question

As placas de automóveis são formadas por três letras seguidas por quatro algarismos. Quantas placas podem ser criadas com vogais e os algarismos, podendo repetir as letras e não podendo repetir os algarismos?​

Answer 1

CONFIRA AS IMAGENS (SÃO MINHAS)

PRIMEIRAMENTE, analisemos as letras:

• Deve-se escolher 3 letras para a placa;
• A placa precisa possuir apenas vogais (A, E, I, O, U). São 5 possibilidades que podem repetir. Ou seja, posso construir placas que comecem com A A A,   A E O,   A U O...

Dessa forma, sabemos que há 5 possibilidades para cada letra: 5 × 5 × 5. Que pode ser escrito como: $5^{3}$

AGORA, podemos analisar os algarismos:

• Deve-se escolher 4 números para a placa;
• Eles podem ser: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ou seja, 10 possibilidades;
• Nenhum número deve ser repetido. Ex.: 1234, 5901, 3683...

1. Para o PRIMEIRO NÚMERO da placa, podemos escolher qualquer algarismo (10 possibilidades para o primeiro número);
2. Para o SEGUNDO NÚMERO da placa, não podemos mais escolher o mesmo número que foi escolhido para o primeiro. Resta-nos 9 possibilidades para o segundo número;
3. Para o TERCEIRO NÚMERO da placa, não podemos escolher o mesmo número que foi escolhido para o primeiro e para o segundo. Resta-nos 8 possibilidades para o segundo número;
4. Para o QUARTO NÚMERO da placa, não podemos escolher o mesmo número que foi escolhido para o primeiro, para o segundo e para o terceiro. Resta-nos 7 possibilidades para o segundo número;

Multiplica-se a possibilidade de cada número de placa: 10 × 9 × 8 × 7 . Que pode ser escrito como: $\frac{10!}{6!}$

PARA FINALIZAR, basta multiplicar as possibilidades da disposição das letras na placa com as de número.

$5^{3} \times \frac{10!}{6!}\\\\125\times \frac{10!}{6!}\\\\ 125 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \\\\ 1250 \times 9 \times 56\\\\ 1250 \times 504 = 630 \:000\\ou\\63 \times 10^{4}$

OBS.:

• Você também pode resolver essa parte das possibilidades dos números da placa pela fórmula de arranjo porque a ordem deles importa: uma placa 1234 não é igual a uma 4321.

• É legal observar a necessidade da multiplicação para avaliar a totalidade de possibilidades do problema através da ÁRVORE DE POSSIBILIDADES (porém, dá muito trabalho com valores grandes) - VEJA A ÚLTIMA IMAGEM.

RESPOSTA: $63 \times 10^{4}$