Question

As pistas da Fórmula 1 são uma série de curvas intercaladas por trechos retos mais ou menos longos. Assim, o piloto que quiser ser competitivo deve aproveitar o máximo do circuito, de modo a contornar as curvas com a maior velocidade possível. Na figura abaixo vemos um piloto fazendo uma curva para a esquerda. A linha traceja ilustra o traçado ideal do carro – que é apenas um – o piloto deve dividir o momento da curva em três: o de entrada ou tomada, em que o piloto iniciará a frenagem e o traçado para a entrada da curva; o de tangência, momento em que o piloto está na parte mais interna da curva e, consequentemente, no momento mais lento; e a saída, quando o carro volta a andar em linha reta e ganha velocidade ou quando a curva pode ser considerada concluída.
Suponha que após passar pelo ponto de tangência T o piloto perca o controle do carro e saia em uma trajetória retilínea que é tangente a parte interna da curva em T. Denote por P=($x_{0}$,0) o ponto no qual o carro passa pelo eixo x . Sabendo que a parte mais interna da curva (linha amarela da figura) tem um perfil parabólico dado pela equação y=4$x^{2}$−24x+36 e que ponto T=(1,16), determine o valor de $x_{0}$.

Resposta: O valor de $x_{0}$ é _________

(imagem)

Answer 1

Resposta:

x_0 = 2

Resolução:

Devemos determinar a equação da reta correspondente à trajetória retilínea do veículo ao passar por T. Sabendo que esta reta é tangente à curva y = 4x² - 24x + 36, podemos invocar a

Equação da reta tangente à curva:

"Seja T(x_T, y_T) um ponto na curva y = f(x). Dado que f'(x_T) existe e é finito, podemos dizer que a reta s tangente à curva y = f(x) que passa por T é dada por

s: y - y_T = f'(x_T)(x - x_T)"

Vamos calcular a derivada de f(x) = 4x² - 24x + 36 em x = 1.

f'(x) = [4x²]' - [24x]' + [36]'

f'(x) = 8x - 24

f'(1) = 8 - 24

f'(1) = -16

Substituindo todos os valores na equação acima, temos

s: y - 16 = -16(x - 1)

s: y - 16 = -16x + 16

s: y = -16x + 32

Para achar o ponto de intersecção de s com o eixo x, basta substituir y = 0:

0 = - 16x + 32

16x = 32

x = 32/16

x = 2

Logo, o valor de x_0 é 2.