Question

As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de cinco letras em um dicionário. Qual a 73ª palavra dessa lista? Justifique a resposta apresentando cálculos ou uma resolução comentada.

Answer 1

Olá

Como queremos anagramas em ordem alfabética, começaremos fixando o A:

A _ _ _ _ 

Nessa condição, temos 4! = 24 anagramas 

A próxima letra será O:

O _ _ _ _ 

Também temos 24 anagramas que começam com a letra O.

A próxima letra será P:

P _ _ _ _ 

Também temos 24 anagramas que começam com a letra P.

Observe que já temos um total de 24 + 24 + 24 = 72 anagramas.

Como queremos o 73° anagrama, então temos que:

A palavra começa com R. Com isso, basta arrumar as outras 4 letras em ordem alfabética, ou seja:

R A O P V

Essa é a 73ª palavra procurada.

Answer 2

Resposta: RAOPV.

Explicação passo-a-passo:

O primeiro passa é colocar as letras em ordem alfabética:

1°: A

2°: O

3°: P

4°: R

5°: V

6°: V

Agora é importante saber onde está o 73° anagrama da palavra PROVA. Para isso, podemos dividir a quantidade de permutações da palavra (5!) pela quantidade de letras iniciais (5).

$\mathtt{120!\div5=4!=4\times3\times2=24}$

Cada letra tem 24 anagramas. Dessa afirmação podemos deduzir:

24 anagramas com A (de 00 até 24);

24 anagramas com O (de 25 até 48);

24 anagramas com P (de 49 até 72);

24 anagramas com R (de 73 até 96).

O 73° anagrama é o primeiro anagrama R, então, será RAOPV (por estar em ordem alfabética). A resposta está na letra E.

Para garantir, segue lista com todos os anagramas da palavra PROVA.

1°: aoprv

2°: aopvr

3°: aorpv

4°: aorvp

5°: aovpr

6°: aovrp

7°: aporv

8°: apovr

9°: aprov

10°: aprvo

11°: apvor

12°: apvro

13°: aropv

14°: arovp

15°: arpov

16°: arpvo

17°: arvop

18°: arvpo

19°: avopr

20°: avorp

21°: avpor

22°: avpro

23°: avrop

24°: avrpo

25°: oaprv

26°: oapvr

27°: oarpv

28°: oarvp

29°: oavpr

30°: oavrp

31°: oparv

32°: opavr

33°: oprav

34°: oprva

35°: opvar

36°: opvra

37°: orapv

38°: oravp

39°: orpav

40°: orpva

41°: orvap

42°: orvpa

43°: ovapr

44°: ovarp

45°: ovpar

46°: ovpra

47°: ovrap

48°: ovrpa

49°: paorv

50°: paovr

51°: parov

52°: parvo

53°: pavor

54°: pavro

55°: poarv

56°: poavr

57°: porav

58°: porva

59°: povar

60°: povra

61°: praov

62°: pravo

63°: proav

64°: prova

65°: prvao

66°: prvoa

67°: pvaor

68°: pvaro

69°: pvoar

70°: pvora

71°: pvrao

72°: pvroa

73°: raopv

74°: raovp

75°: rapov

76°: rapvo

77°: ravop

78°: ravpo

79°: roapv

80°: roavp

81°: ropav

82°: ropva

83°: rovap

84°: rovpa

85°: rpaov

86°: rpavo

87°: rpoav

88°: rpova

89°: rpvao

90°: rpvoa

91°: rvaop

92°: rvapo

93°: rvoap

94°: rvopa

95°: rvpao

96°: rvpoa

97°: vaopr

98°: vaorp

99°: vapor

100°: vapro

101°: varop

102°: varpo

103°: voapr

104°: voarp

105°: vopar

106°: vopra

107°: vorap

108°: vorpa

109°: vpaor

110°: vparo

111°: vpoar

112°: vpora

113°: vprao

114°: vproa

115°: vraop

116°: vrapo

117°: vroap

118°: vropa

119°: vrpao

120°: vrpoa