Question

As parábolas com equações y = -x² + 2x + 3 ey = x² - 4x + 3 estão esboça- das a seguir. Qual a área do menor retângulo, com lados paralelos aos eixos, que contém a área colorida, limitada pelos gráficos das parábolas?​

Answer 1

A área sob a curva da intersecção das duas parábolas é 9

Área abaixo da curva

Formular a área sob uma curva é o primeiro passo no desenvolvimento do conceito de integral. A área sob a curva formada pelo traço da função f(x) e o eixo x pode ser obtida aproximadamente desenhando retângulos de largura finita e altura f iguais ao valor da função no centro do intervalo.

Neste caso, temos duas funções de parábolas, devemos procurar os pontos de interseção em x:

$y=-x^2+2x+3=-(x-3)(x+1)\\y=x^2-4x+3=(x-3)(x-1)$

Agora vamos calcular as integrais definidas para a função $x^2-4x+3$  0-1 e 1-3 enquanto para a função $-x^2+2x+3$ 0-3 (a área de cada integral é definida na imagem). Calculando integrais:

$\displaystyle \int _{0}^{3}\left( -x^{2} +2x+3\right) dx=-\int _{0}^{3} x^{2} dx+2\int _{0}^{3} xdx+3\int _{0}^{3} dx=-\frac{x^{3}}{3} |_{0}^{3} +2\frac{x^{2}}{2} |_{0}^{3} +3x|_{0}^{3}$

$\displaystyle =-9+9+9=9$

$\displaystyle \int _{0}^{1}\left( x^{2} -4x+3\right) dx=\int _{0}^{1} x^{2} dx-4\int _{0}^{1} x dx+\int _{0}^{1} dx=\frac{x^{3}}{3} |_{0}^{1} -4\frac{x^{2}}{2} |_{0}^{1} +3x|_{0}^{1}$

$\displaystyle =\frac{1}{3} -2+3=\frac{1}{3} +1=\frac{4}{3}$

$\displaystyle \int _{1}^{3}\left( x^{2} -4x+3\right) dx=\int _{1}^{3} x^{2} dx-4\int _{1}^{3} x dx+\int _{1}^{3} dx=\frac{x^{3}}{3} |_{1}^{3} -4\frac{x^{2}}{2} |_{1}^{3} +3x|_{1}^{3}$

$\displaystyle =\left( 9-\frac{1}{3}\right) -2( 9-1) +3( 3-1) =\frac{26}{3} -16+6=\frac{26}{3} -10=\frac{4}{3}$

Por fim, precisamos subtrair a área denotada pela cor rosa (veja a imagem) para obter a área final:

$A_t=9-\frac{4}{3}+\frac{4}{3} =9$

Você pode ler mais sobre a integral de uma função no seguinte link:

https://brainly.com.br/tarefa/3837326

#SPJ1