Question

As novas placas Mercosul têm três letras seguidas, um número, uma letra e depois mais dois números. Exemplo: AAA 1A11. Considere todas as placas de carros que possuem os mesmos três dígitos. Em quantas delas há exatamente duas letras iguais.

Answer 1

Resposta:

Veja a resposta abaixo, dividimos em dois casos distintos.

Explicação passo a passo:

As placas no padrão Mercosul são no formato:

AAA 9A99

Vamos dividir em dois casos, pois não ficou claro no enunciado:

1) Se os três dígitos são todos iguais E estamos considerando somente UM dos arranjos de três dígitos, podemos reduzir o problema aos arranjos das letras, e reduzimos o formato a AAAA.

Se as placas têm exatamente duas letras iguais então as possibilidades de combinações são como abaixo:

AAXY

AXAY

AXYA

XAAY

XYAA

XAYA

onde AA são letras iguais e X,Y letras distintas diferentes de A.

Para cada uma das 6 combinações acima temos 26 possibilidades. Para cada uma das 26 possibilidades, podem ser escolhidas 25 letras para X e 24 letras para Y, então os números de possibilidades são:

AAXY            26*25*24

AXAY            26*25*24

AXYA            26*25*24

XAAY            26*25*24

XYAA            26*25*24

XAYA            26*25*24

Somando as possibilidades para cada um dos 6 tipos de combinações acima, obtemos:

N = 6 * 26 * 25 * 24 = 93.600

2) Se os três dígitos são iguais mas temos que considerar todas as possibilidades de arranjos de três dígitos, podemos fazer o mesmo raciocínio do caso anterior, mas considerando que podemos arranjar os 3 dígitos de todas as formas.

A fórmula para o arranjo de 3 dígitos 3 a 3 é :

A(3,3) = 3!/(3-3)! = 3! = 6

Podemos então multiplicar esse número pelo número de combinações de letras do caso 1), obtendo:

N = 6 * 93.600 = 561.600