Question

As medidas, em centímetros, dos lados de um triângulo são expressas por x+1, 2x e x² -5 e estão em progressão aritmética, nessa ordem. Calcule o perímetro do triângulo.

(a) 15 cm
(b) 18 cm
(c) 20 cm
(d) 25 cm
(e) 24 cm

Answer 1

Utilizando regras gerais de Progressões aritméticas, temos que o perímetro deste triangulo é de 24 cm. Letra (e).

Explicação:

A questão nos diz que a medida destes lados estão em progressão aritmética, então existe uma razão R, para a progressão, tal que, o primeiro termo mais R é igual ao segundo e o segundo termo mais R é igual ao terceiro, desta forma:

$x+1+R=2x$

$2x+R=x^2-5$

Assim podemos isolar R nas duas equações:

$x+1+R=2x$

$x+1-2x=-R$

$1-x=-R$

$2x+R=x^2-5$

$2x-x^2+5=-R$

$-x^2+2x+5=-R$

Como as duas equações são iguais a -R, podemos iguala-las:

$1-x=-x^2+2x+5$

$x^2-3x-4=0$

Agora temos uma equação do segundo grau e basta resolve-la:

$\Delta=b^2-4.a.c$

$\Delta=(-3)^2-4.1.(-4)$

$\Delta=9+16$

$\Delta=25$

$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2.a}$

$x=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2.1}$

$x=\frac{3\pm 5}{2}$

Assim temos duas raízes:

$x_1=\frac{3-5}{2}=-1$

$x_2=\frac{3+5}{2}=4$

A raiz -1 não faz sentido, pois assim o lado 2x teria tamanho -2, que não existe, então temos que x=4. Sabendo x nos sabemos o tamanho do lados:

$x+1=4+1=5$

$2x=2.4=8$

$x^2-5=4^2-5=16-5=11$

Agora basta somarmos estes lados e teremos o perímetro:

$P=5+8+11=24$

Então temos que o perímetro deste triangulo é de 24 cm. Letra (e).