As medidas, em centímetros, das arestas de um paralelepípedo são números inteiros ímpares consecutivos e a área lateral total do mesmo é de 142cm2. Qual é o volume do paralelepípedo?
Soluções para a tarefa
Resposta inválida: Da maneira que foi proposta, a questão não possui solução. *
* Resposta válida: Com uma pequena adaptação no próprio enunciado, conclui-se que o volume V pedido é igual a 105 cm³.
Explicação passo-a-passo:
As arestas do tal paralelepípedo (supondo que seja um ortoedro, também chamado paralelepípedo retorretângulo) são dadas por x, x + 2 e x + 4, sendo x um número inteiro positivo ímpar. Também é sabido que sua área lateral AL é igual a 142 cm². Sabe-se que a área lateral AL de um ortoedro de arestas a, b e c (sendo a o comprimento, b largura e c a sua altura) é dada por AL = 2ac + 2bc = 2(ac + bc). Assim sendo, ao substituir na fórmula AL os dados fornecidos, obteremos:
2[x(x + 4) + (x + 2)(x + 4)] = 142 =>
x(x + 4) + (x + 2)(x + 4) = 71 =>
(x + 4)[x + (x + 2)] = 71 =>
2(x + 1)(x + 4) = 71 e 71 é número ímpar **
** É claramente perceptível que não existe número inteiro positivo ímpar x que satisfaça tal equação. Se x é inteiro positivo, então x + 1 e x + 4 também o serão. Os números x + 1 e x + 4 são inteiros positivos, logo o produto (x + 1)(x + 4) também o será. O produto do número 2 por qualquer outro inteiro, sempre vai resultar em um número par. Logo, está provado que o produto 2(x + 1)(x + 4) é um número par positivo, com isso ele jamais será ímpar e igual a 71.
Também poderíamos ter chamado as arestas de x - 2, x e x + 2, sendo x um inteiro positivo ímpar. Com isso:
2[x(x - 2) + (x + 2)(x - 2)] = 142 ***
*** O que também não fornece resultados plausíveis
Observação: Talvez a questão esteja escrita de modo incorreto.
— Resolução com enunciado modificado
O enunciado informa que a área lateral Al é 142 cm². Trocaremos “área lateral” (Al) por “área total” (At) e veremos no que vai dar. Logo, no novo enunciado, nos é dado o valor da área total At = 142 cm², sendo x, x + 2 e x + 4 as dimensões do ortoedro (números ímpares e sucessivos). Sabe-se que a fórmula utilizada para o cálculo da área total At de um paralelepípedo retangular reto de arestas a, b e c é At = 2(ab + ac + bc). Assim sendo, temos:
At = 2[x(x + 2) + x(x + 4) + (x + 2)(x + 4)] e At = 142 cm² =>
2[x(x + 2) + x(x + 4) + (x + 2)(x + 4)] = 142 =>
x(x + 2) + x(x + 4) + (x + 2)(x + 4) = 71 =>
x(x + 2) + (x + 4)[x + (x + 2)] = 71 =>
x(x + 2) + (x + 4)(2x + 2) = 71 =>
x(x + 2) + (x + 4)[2(x + 1)] = 71 =>
x(x + 2) + 2(x + 1)(x + 4) = 71 =>
x² + 2x + 2(x² + 4x + x + 4) = 71 =>
x² + 2x + 2(x² + 5x + 4) = 71 =>
x² + 2x + 2x² + 10x + 8 = 71 =>
x² + 2x² + 2x + 10x + 8 - 71 = 0 =>
3x² + 12x - 63 = 0 =>
3(x² + 4x - 21) = 0 =>
x² + 4x - 21 = 0 =>
x² + 7x - 3x - 21 = 0 =>
x(x + 7) - 3(x + 7) = 0 =>
(x - 3)(x + 7) = 0 e x é inteiro positivo ímpar =>
x = 3 (Solução Válida!)
Com isso, as dimensões do paralelepípedo serão x = 3 cm, x + 2 = 3 + 2 = 5 cm e x + 4 = 3 + 4 = 7 cm. Para calcular o volume de um paralelepípedo retângulo, basta multiplicar as medidas de suas três dimensões. A partir das informações acima, o seu volume V será dado por:
V = 3 cm x 5 cm x 7 cm =>
V = 105 cm³ ****
**** Perceba que após uma alteração conveniente no próprio texto da questão proposta, o volume V pedido foi facilmente calculado. Portanto, acredito fortemente que você apenas errou na hora de escrever o enunciado, trocando “área total” por “área lateral”.
Abraços!